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Sintesi

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Estratto del documento

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

{u'(x) = 4 cos xu(x) + cos xu(0) = 1.}

Calcolare u''(0) + u''(0) e u(π) – u'(π).

Soluzione. Per la prima richiesta si ha

u'(0) = 4u(0) + 1 = 5

mentre, derivando l’equazione,

u''(x) = –4 sin xu(x) + 4 cos xu'(x) – sin x

da cui u''(0) = 20; allora u'(0) + u''(0) = 25. Risolviamo ora l’equazione. Si ha

u(x) = e4 sin x ∫cos xe-4 sin xdt = e4 sin x(-1⁄4e-4 sin x + c) == -1⁄4 + ce4 sin x.

Imponendo la condizione iniziale si ottiene c = 5⁄4, da cui

u(x) = -1⁄4 + 5⁄4e4 sin x

e quindi

u'(x) = 5 cos xe4 sin x

da cui u(π) – u'(π) = 6.

Dettagli
Publisher
lussardi
1 pagine