Equazioni differenziali ordinarie 18

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′

u (x) + 49u(x) = 1

 1

u(0) = 49

′

u (0) = 7.



′′ ′

Calcolare u (0) e 49u(π) − u (π).

′′

Per il calcolo di u (0) si ha

soluzione. ′′

u (0) = 1 − 49u(0) = 0.

Invece, per la seconda richiesta, occorre risolvere l’equazione. L’equazione caratteristica è data

dall’equazione 2

λ + 49 = 0

che ha le due soluzioni λ = ±7i; ne segue che l’integrale generale dell’equazione omogenea

1,2

associata è dato da ū(x) = c cos(7x) + c sin(7x).

1 2

Il termine noto è di tipo polinomiale, di grado 0; cerchiamo quindi, ad esempio, una soluzione

particolare costante. Si osserva immediatamente che l’unica soluzione particolare costante è data

da 1 .

u (x) =

p 49

L’integrale generale è quindi dato da 1

u(x) = c cos(7x) + c sin(7x) +

1 2 49

da cui 1 1

1 ⇐⇒ c + =

u(0) = 1

49 49 49

e dunque c = 0. Per il calcolo di c si ha anzitutto

1 2 ′

u (x) = 7c cos(7x)

2

da cui ′

u (0) = 7 ⇐⇒ 7c = 7

2

che restituisce c = 1. La soluzione richiesta è dunque data da

2 1

u(x) = sin(7x) + 49

con ′

u (x) = 7 cos(7x).

Dunque 1

′

49u(π) − u (π) = 49 − 7 cos(7π) = 8.

49