Equazioni differenziali ordinarie 13

Risolvere il problema di Cauchy

'(x) = -(u(x))² + u(x) tan x + 1 + tan² xu(0) = 1,

sapendo che u = tan x è una soluzione particolare dell’equazione data.

Soluzione. Effettuiamo il cambio di variabile

v(x) = u(x) - tan x;

allora l’equazione data equivale a

v'(x) = -v(x)² - v(x) tan x.

Non cercando la soluzione nulla, possiamo dividere per v(x)²; si trova

v'(x) / v(x)² = -1 - tan x / v(x).

Poniamo ora w(x) = (v(x))^-1; l’equazione diventa finalmente

w'(x) = w(x) tan x + 1,

che ha come soluzioni

w(x) = sin x + c / cos x.

Dunque

v(x) = cos x / c + sin x

e

u(x) = tan x + cos x / c + sin x.

Inserendo la condizione u(0) = 1 si trova c = 1, per cui la soluzione è data da

u(x) = tan x + cos x / 1 + sin x.