Equazione differenziale ordinaria 26

Risolvere il problema di Cauchy

 ′′ x

u (x) − u(x) = 2e

 u(0) = 1

′

u (0) = 2.



Il polinomio caratteristico è dato da

soluzione. 2

λ − 1

per cui le due soluzioni dell’omogenea associata sono

x −x

u (x) = e u (x) = e .

1 2

Cerchiamo una soluzione particolare della forma x

v(x) = αxe .

Si ha ′ x x

v (x) = αe + αxe

e ′′ x x

v (x) = 2αe + αxe

da cui, come al solito dovrà essere, sostituendo nell’equazione:

x x

2αe = 2e

per ogni x reale, quindi α = 1. La soluzione particolare è data da

x

v(x) = xe .

Allora tutte le soluzioni sono date da x −x x

u(x) = c e + c e + xe .

1 2

La condizione u(0) = 1 dà c + c = 1

1 2

′

mentre la condizione u (0) = 2 porta a c − c + 1 = 2.

1 2

Ne segue facilmente c = 1 c = 0.

1 2

Allora la soluzione finale è x

u(x) = e (x + c ).

1