Equazione differenziale ordinaria 20

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ ′

u (x) + 2u (x) = −16 sin(2x)

 u(0) = 0

′

u (0) = 4.



3π

′′

.

Calcolare u (0) e u 2

Quanto alla prima richiesta si ha

soluzione. ′′ ′

u (0) = −2u (0) = −8.

Risolviamo ora l’equazione; l’equazione caratteristica è data da

2

λ + 2λ = 0

che ha le soluzioni λ = 0 e λ = −2; l’integrale generale dell’omogenea associata è dunque dato

1 2

da −2x

ū(x) = c + c e .

1 2

Osserviamo ora che 2 non è soluzione dell’equazione caratteristica, quindi cerchiamo soluzioni

particolari della forma u (x) = a cos(2x) + b sin(2x).

p

Si ha ′

u (x) = −2a sin(2x) + 2b cos(2x)

p

e ′′

u (x) = −4a cos(2x) − 4b sin(2x).

p

Inserendo il tutto nell’equazione data si ottiene, a conti fatti, il seguente sistema

−4a + 4b = 0

4a + 4b = 16

da cui a = b = 2. La soluzione generale è quindi data da

−2x

u(x) = c + c e + 2 cos(2x) + 2 sin(2x).

1 2

La condizione u(0) = 0 dà c + c + 2 = 0; poi si ha

1 2

′ −2x

u (x) = −2c e − 4 sin(2x) + 4 cos(2x)

2

′

da cui u (0) = 4 equivale a −2c + 4 = 4. Dunque c = 0 e c = −2. La soluzione finale è

2 2 1

u(x) = −2 + 2 cos(2x) + 2 sin(2x)

3π = −4.

da cui u 2