Equazione differenziale ordinaria 19

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ ′ −2x

u (x) + 6u (x) = 24e

 u(0) = 1

′

u (0) = 0.



′′′ ′

Calcolare u (0) e u (1).

Si ha

soluzione. ′′ −2x ′

u (x) = 24e − 6u (x)

′′

da cui u (0) = 24; derivando si ha ′′′ −2x ′′

u (x) = −48e − 6u (x)

′′′

e quindi u (0) = −48 − 144 = −192. Risolviamo ora l’equazione; l’equazione carattersitica è

data da 2

λ + 6λ = 0

che ha le soluzioni λ = 0 e λ = −6; ne segue che l’integrale generale dell’omogenea associata è

1 2

dato da −6x

ū(x) = c + c e .

1 2

Il termine noto è di tipo esponenziale, con esponente −2x. Non essendo −2 radice dell’equazione

caratteristica, cerchiamo una soluzione particolare della forma

−2x

u (x) = ae .

p

Si ha ′ −2x ′′ −2x

u (x) = −2ae ; u (x) = 4ae .

p p

Inserendo il tutto nell’equazione data si ha

−2x −2x −2x

4ae − 12ae = 24ae ⇐⇒ a = −3.

La soluzione generale è quindi data da −6x −2x

u(x) = c + c e − 3e .

1 2

La condizione u(0) = 1 dà c + c = 4; intanto si ha

1 2 ′ −6x −2x

u (x) = −6c e + 6e

2

′

per cui u (0) = 0 restituisce c = 1. Dunque c = 3, e la soluzione risulta essere

2 1 −6x −2x

u(x) = 3 + e − 3e

da cui ′ −6x −2x

u (x) = −6e + 6e .

′ −6 −2

Ne segue che u (1) = −6e + 6e .