Equazione differenziale ordinaria 16

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ ′

u (x) − 6u (x) + 9u(x) = 0

 u(0) = 0

′

u (0) = 1.



1

′′′ .

Calcolare u (0) e log 4u(4)

Dall’equazione si ha

soluzione. ′′ ′

u (0) = 6u (0) + −9u(0) = 6.

Derivando l’equazione si trova ′′′ ′′ ′

u (x) = 6u (x) − 9u (x),

′′′

da cui u (0) = 27. Quanto alla seconda richiesta, calcoliamo l’integrale generale. L’equazione

caratteristica è data da 2

λ − 6λ + 9 = 0

che ha come soluzioni λ = λ = 3. Quindi l’integrale generale è dato da

1 2 3x 3x

u(x) = c e + c xe .

1 2

Imponendo la condizione u(0) = 0 si trova c = 0; si ha poi

1

′ 3x 3x 3x

u (x) = 3c e + c e + 3c xe ,

1 2 2

′

da cui u (0) = 1 fornisce c = 1. Ne segue che la soluzione particolare è data da

2 3x

u(x) = xe .

1

12

Quindi u(4) = 4e , da cui log = 12.

4u(4)