Equazione differenziale ordinaria 14

Trovare l'integrale generale dell'equazione

\( u''(x) + \frac{1}{x} u'(x) = x^2, \quad x > 0. \)

Soluzione. Poniamo \( u'(x) = v(x) \); allora l'equazione diventa

\( v'(x) + \frac{1}{x} v(x) = x^2 \)

che ha come soluzioni

\( v(x) = e^{- \log x} \int x^2 e^{\log x} dx = \frac{1}{x} \left( \frac{x^4}{4} + C_1 \right) = \)

\( = \frac{c_1}{x} + \frac{x^3}{4}. \)

Dunque

\( u'(x) = \frac{c_1}{x} + \frac{x^3}{4} \)

da cui

\( u(x) = c_1 \log x + \frac{x^4}{16} + c_2. \)