Applicazioni dell'integrale definito: area tra curve, lunghezze d'arco, centro di massa, lavoro

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Integrazione

Applicazioni dell'Integrale definito: area tra curve, lunghezze d'arco, centro di massa, lavoro

Il problema di trovare area, lunghezza d'arco, centro di massa e lavoro di una forza spesso può essere

risolto mediante un integrale di una funzione in un intervallo.

Area della regione tra le curve f1(x) e f2(x), f1(x) < f2(x) nell'intervallo [a,b]:

b

A f x f x d

x

1 2

a e :

Lunghezza della curva g(x) nell'intervallo di estremi a b

b 2

L 1 g' x d

x

a δ

(x):

Centro di massa di una barra o una striscia sottile posta lungo l'asse x con funzione densità

b δ

.

x x d

x

a

C b δ x d

x

a

Lavoro fatto da una forza continua F(x) diretta lungo l'asse x nell'intervallo di estremi e :

a b

b

L F x d

x

a 2

sc t 5 t 2 e la

Quanto vale l'area della regione di piano compresa tra il semicerchio

2 2

.

se t 2 t 2

semiellisse ?

5

r 1 , .99 .. 5

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3

2

sc r

se r 1

1 0 1 2 3 4 5

r

Abbiamo bisogno di conoscere i punti d'intersezione delle curve per determinare gli estremi

dell'intervallo d'integrazione. A tal scopo risolviamo l'equazione

2

2 2

.

5 t 2 2 t 2

5

Eleviamo al quadrato ambo i membri.

L’equazione 2

2 2

.

5 t 2 2 t 2

5

ha soluzioni

2 5

2 5

a 2 5

b 2 5

b

Area sc x se x d

x

a

Area = 2.886

Un razzo è lanciato dal suolo verso l'alto. La sua traiettoria è una parabola. La funzione

2

.

h x 882 18 x 7 dà la quota del razzo in metri quando esso ha percorso una distanza

orizzontale di x metri. Qual è la distanza totale percorsa dal razzo?

La quota del razzo è 0 quando x = 0:

h 0 = 0

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Troviamo dove la quota è di nuovo 0 per determinare l'estremo superiore dell'integrale.

L'equazione 2

.

882 18 x 7 0

ha soluzioni

0

14

a 0

b 14

r a , a .1 .. b

1000

h r 500 0 5 10

r

La derivata della funzio