Serie: Studiare, al variare dilambda in RR, il carattere della serie sum_{n=1}^(+infty)lambda^(2n)/n^2

Studiare, al variare di λ ∈ ℝ, il carattere della serie:

+∞∑ λ2ⁿn=1 n²

soluzione. Si ha che

lim ^√2ⁿ = λ² ( lim ^√n² )^-1 = λ².

n→+∞ _√n² n→+∞

Dunque, per il criterio della radice, si ha convergenza se λ² < 1, cioè con−1 < λ < 1, e non si haconvergenza per λ² > 1, cioè con λ > 1 e λ < −1. Il caso λ = ±1, va studiato a parte. Inserendotali valori nella serie si ha

+∞∑ 1n=1 n²

che converge, siccome 2 > 1.