La formula di Grassmann

La formula di Grassmann

a cura di Flavio Cimolin

(pagina a cura di Nicola Picoco) (ultimo aggiornamento: 02/06/2006)

La formula di Grassmann è uno dei primissimi risultati fondamentali della “nuova geometria”, ossia

quella scoperta da Descartes nella prima metà del 600 e che solo nel 800 trova la sua piena

generalizzazione nel concetto di spazio vettoriale.

Il nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann (1809-1877), che è per

l'appunto uno dei fondatori della teoria astratta degli spazi vettoriali. La sua opera fondamentale,

l’Ausdehnungslehre (che significa “teoria dell’estensione”), rimase nell’ombra per decenni, fino a

quando, alla fine del 800, grazie soprattutto al matematico italiano Giuseppe Peano (che fu uno dei

primi a capirne l’importanza e l’elevato valore teorico), non divenne una pietra miliare e un punto

di partenza per tutta l’estensione futura della teoria.

Dati due spazi vettoriali V e W è facile rendersi conto che anche la loro intersezione è uno spazio

vettoriale (detto spazio intersezione); inoltre, in queste ipotesi, anche l’insieme

V + W = {u+w | u app. V , w app. W}

risulta essere uno spazio vettoriale (detto spazio somma). La formula di Grassmann stabilisce una

relazione tra le dimensioni dello spazio somma e lo spazio intersezione. Dato uno spazio vettoriale

Allora risulta:

V di dimensione finita, siano U e W due suoi sottospazi vettoriali.

La dimostrazione, anche se un po’ laboriosa, è del tutto naturale: essa si basa sulla costruzione di

due basi per W e U che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro

intersezione.

La formula di Grassmann è di estrema utilità nello studio degli iperspazi, soprattutto quando si ha a

che fare con spazi astratti molto complessi dove, a differenza di R^n, l’intuizione gioca un ruolo

decisamente marginale.

Vediamo ora due classiche applicazioni di questa formula:

1) Classificazione di sottospazi in tre dimensioni

Nel caso di uno spazio vettoriale tridimensionale, la formula di Grassmann scandisce la seguente

casistica per i sottospazi (in questo caso molto intuitiva): due sottospazi monodimensionale (rette

per l’origine), se non coincidono, generano un piano; mentre due sottospazi, di cui almeno uno

bidimensionale (piano per l’origine), se non coincidono (o non sono uno contenuto nell’altro),

generano tutto lo spazio. http://www.matematicamente.it