Il concetto di funzione

CONCETTO DI FUNZIONE

Per arrivare alla definizione insiemistica ci serviamo di alcuni esempi:

1°. Quando si fa rifornimento di benzina, il prezzo legato "è funzione della quantità di carburante acquistato". Se "n" è il numero di litri acquistati, "p" il prezzo unitario per litro, il costo totale "c", è dato da c = pn RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ DIRETTA.

2°. Se un gas racchiuso in un contenitore è mantenuto a temperatura costante, la legge di Boyle mette in relazione il volume V del contenitore e la pressione "p" del gas: p = k V

In questo caso la pressione è funzione del volume RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ INVERSA.

3°. Acquistiamo dei dischetti per il computer; il costo unitario dei dischetti "è funzione" del numero di dischetti acquistati: maggiore è il numero di dischetti acquistati e minore è il prezzo unitario di questi dischetti.

• NUMERO DISCHETTI
• PREZZO UNITARIO
• da 1 a 10 - 680
• da 11 a 50 - 650
• da 51 a 200 - 630
• più di 200 - 600

CONCETTO DI FUNZIONE

Per arrivare alla definizione insiemistica ci serviamo di alcuni esempi:

1. Quando si fa rifornimento di benzina, il prezzo legato "è funzione" della quantità di carburante acquistato. Se "d" è il numero di litri acquistati, "p" il prezzo unitario per litro, il costo totale "c", è dato da c: per il "RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ DIRETTA".

2. Se un gas racchiuso in un contenitore è mantenuto a temperatura costante, la legge di Boyle mette in relazione il volume V del contenitore e la pressione "p" del gas:

   p = k₁ / V. In questo caso la pressione è funzione del volume, RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ INVERSA.

3. Acquistiamo dei dischetti per il computer; il costo unitario dei dischetti "è funzione" del numero di dischetti acquistati: maggiore è il numero di dischetti acquistati e minore è il prezzo unitario di questi dischetti.

   • NUMERO DISCHETTI
   • PREZZO UNITARIO
   • da 1 a 10
   • 680
   • da 11 a 50
   • 650
   • da 51 a 200
   • 630
   • più di 200
   • 600

Il prezzo unitario è "funzione" del numero di dischetti acquistati. In questo caso è più difficile scrivere una funzione matematica semplice che collega la quantità (numero di dischetti), il prezzo e le leggi cje (?). La funzione che lega il numero al prezzo è rappresentata da una tabella e non da una formula.

Ogni cittadino italiano è dotato di un codice fiscale, una sequenza di 16 lettere e cifre che "sono funzione dei dati anagrafici del cittadino". Le legge non è descrivibile né con una formula né con una tabella, ma da una sequenza di istruzioni. La funzione lega il singolo cittadino con la sequenza di lettere e cifre. In questo caso, non essendo formulabile una tabella, utilizziamo una sequenza di istruzioni, del tipo: le prime tre lettere sono dedotte dal cognome, le successive tre dal nome, ecc. Abbiamo pertanto, una funzione sostituite come sequenza di istruzioni.

La caratteristica comune in questi quattro esempi è che si può dire che una funzione è una regola che permette, fissato un dato di ingresso, di determinare in modo univoco un risultato in uscita. Per parlare di funzioni abbiamo bisogno di un dato di ingresso, una quantità assegnata.

Questa regola (la funzione) agisce su questi dati (la stringa) e fornisce un risultato in uscita (cost). Questa regola deve permettermi, fissati i dati in entrata di determinare un risultato in modo univoco. Non può creare delle ambiguità, es. Se prendiamo tutti i maschi sposati e costruiamo la corrispondenza che ad ogni persona assocerà la moglie, il Solare, è una funzione, ma nei press. dove c'è poligamia, questa relazione non è una funzione.

Altra cosa importante nella funzione, è che bisogna specificare anche l'insieme in cui ha senso prendere i dati: l'INSIEME DI PARTENZA è quello a cui appartiene il risultato: l'INSIEME D'ARRIVO

Quindi la funzione è una legge univoca che a partire da un dato esistente nell'insieme di partenza, mi permette di ottenere un risultato che sarà un elemento dell'insieme di arrivo

CONCETTO DI GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Tutte le informazioni su una funzione sono contenute nel suo grafico. Manca al massimo gli esempi citati in precedenza.

1°: Cost come funzione delle quantità di carburante e puniste c = p. S

Prendiamo un insieme reale che assimeme i litri ed i Cost li assumiamo come reale.

Descrivo queste funzioni dicendo che l'insieme

di partenza è l'insieme dei numeri reali e

quello d’arrivo pure e costruiremo il prodotto

cartesiano fra l'insieme di partenza e quello

d’arrivo —

Il punto A indicando

ha come coordinate

il valore "l" fissato ed il

corrispondente

costo — Questo punto

mi dà una coppia

ordinata in cui al

detto ho colleg. il risultato che, posso annullai,

prendere degli altri dati: considerare tutti i

possibili numeri reali positivi — Individuiamo,

così, un sottoinsieme del modello cartesiano

che chiami il grafico delle funzioni —

_{2° R^1 pressione}

p = /V

Tramite questi grafici possiamo dire di avere

un'informazione di più di quelle date sulle

funzioni (rette, iperbole, ecc.). -

In via generale si può dire che:

Sia (x, y) un generico elemento del grafico della

funzione F - l'insieme delle componenti X

è il dominio della funzione - l'insieme

delle componenti Y è l'immagine della

funzione -

Per introdurre meglio il concetto di dominio

ed immagine, richiamiamo al fatto

esempio, in cui è vero che l'insieme di

partenza è N, come anche quello d'arrivo

ma nell'insieme di arrivo non sono considerati

tutti numeri naturali ma solo alcuni

numeri ovvero i propri unici: 600, 630, 650, 680

Quindi se consideriamo tutti gli elementi

del grafico della funzione, l'insieme delle

componenti X e dominio ❤

e l'insieme di tutte le prime componenti delle

è l'immagine è l'insieme di tutte le seconde

Confronto.

Nell'esempio N. 3 abbiano che il dominio è N ≥ 0;

L'immagine è {660, 630, 650, 650}.

(x,y) appartenere al profilo di ƒ.

Tutte le componenti x costituiscono il dominio che indicherò con dom(ƒ); le seconde componenti y costituiscono l'immagine che indicherò con im(ƒ).

A questo punto si può dare la definizione di funzione partendo dal concetto di profilo.

Si definisce così la funzione dal suo grafico. Si DICE FUNZIONE ƒ da X (insieme di partenza) in Y (insieme d’arrivo) UN SOTTOINSIEME NON VUOTO DEL PRODOTTO CARTESIANO X x Y TALE CHE SE DUE COPPIE (x, y') e (x, y'") APPARTENGONO AD ƒ SI HA y' = y'".

1º es.

Questo 1º es. è il profilo di una funzione. Si nota la caratteristica di univocità.

2º es.

Questo 2º es. non è il profilo di una funzione perché manca la caratteristica di univocità.

x mi identifica due punti.

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La definizione che abbiamo dato di funzione

dice che se deve es

o che se dunque

così come rappresentato nelIIe esempio,

devono necessariamente avere lo stesso

processo comune. Altrimenti non è fatta

di qualità dell'funzione -

Massimodo:

(insieme dell'errore)

(sottoinsieme)

(sottoinsieme non vuoto)

(insieme equivalente)

Si identifica un sottoinsieme non vuoto con

la caratteristica di vuoto e moreover non

- possono esistere copie in cui in corrispondenza

- c'è un elemento dell'insieme di partire

- esistano più elementi dell'insieme interno -

Assegnat un dato deve esserci in unico.

marchib

questo sottoinsieme è la funzione - In questo

sottoinsieme possiamo prendere l'insieme di

tutte le prime componenti del sottoinsieme

dell'insieme di partire. Si definisce

si chiama dominio (domin'po) del nesso

modo possiamo prendere l'insieme di tutte le seconde

componenti del sottinsieme dell'insieme.

Alcune notazioni per le funzioni

f = { (x,y); x ∈ domf e y = f(x) }

f : x ↦ f(x), x ∈ domf

y = f(x), x ∈ domf

f(x), x ∈ domf

x è la variabile indipendente

y è la variabile dipendente

Una funzione è detta reale di variabile reale se il suo insieme di partenza ed il suo e insieme di arrivo coincidono con R

Un sottoinsieme A di R² è il grafico di

una funzione se ogni parallela all'asse delle

ordinate lo interseca al più in un punto.

Grafico di una retta è il

grafico di una funzione

y=x² è il grafico di

una funzione

x=y² (parabola) non

rappresenta il

grafico di una

funzione.