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Serie numeriche e serie di funzioni 1
Serie Numeriche e Convergenza Puntuale di Serie di Funzioni
Sunto- Il lavoro contiene la risoluzione di alcuni esercizi sullo studio del carattere di serie
numeriche e sulla convergenza puntuale di serie di funzioni. Gli esercizi svolti permettono di
rivisitare le tecniche applicative nello studio del carattere di una serie utilizzando uno dei seguenti
criteri: del rapporto, della radice, di Leibniz, del confronto di Gauss e del confronto asintotico, del
confronto integrale. Per altri esercizi sono forniti opportuni suggerimenti come guida alla
risoluzione e sono indicati i risultati. A corredo del lavoro sono proposti altri esercizi da risolvere.
Si segnala anche un approfondimento a proposito della somma di una serie con i termini a segno
alterno che verifica definitivamente le ipotesi del criterio di Leibniz.
+∞ x
n
∑
1) − +
x
3 2
n 1
=
n 1 La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Per lo studio del carattere ci si avvale delle
proprietà della serie armonica generalizzata
+∞ 1
∑ α
n
=
n 1 ∀α ∀α≤
Ricordiamo che quest’ultima converge per >1 e diverge positivamente 1.
Notiamo che ⇔
3-2x>0 x<3/2;
⇔ x>1
x>3-2x
Sussistono i seguenti casi
Caso x<0 → ∞
+ è infinitesimo ed il denominatore
Il numeratore della termine generale della serie per n
⇒ →
a 0;
è infinito n
in particolare possiamo scrivere
x x
n n 1
= = =
a (1.1)
n − +
x
3 2 1 1
n 1 − −
+ +
x x
3 2 3 3
n n
1 1
− −
x x
3 2 3 2
n n
quindi la serie in esame ha lo stesso carattere della seria armonica generalizzata
+∞ 1 2
∑ − > ⇔ < ;
che converge se 3 3 x 1 x
−
3 3 x
n 3
=
n 1
poiché si sta considerando il caso x<0 la condizione è soddisfatta, dunque la serie .
converge
Caso x = 0
+∞ +∞ +∞
1 1
∑ ∑ ∑
= ⇒
a la serie ha lo stesso carattere della serie che .
converge
n +
3 3
n
1
n
= = =
n
1 1 1
n n
Caso 0<x<3/2
Sia il numeratore che il denominatore del termine generale della serie, per n→+∞, tendono a
+∞; +∞ 1
∑
tenendo presente la (1.1), la serie ha ancora lo stesso carattere della serie , quindi
−
3 3 x
n
=
n 1
2 2 3 ≤
∈ ∈
x 0; x ;
per ; per risulta 3-3x 1 quindi la serie diverge
converge
3 3 2
positivamente.
Caso x = 3/2
Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”-Tricase (Le)
Serie numeriche e serie di funzioni 2
La serie assume la seguente forma
3
+∞ +∞ n 2
∑ ∑ ∞
= il cui termine generale diverge a + e quindi la serie stessa diverge
a n 2
= =
1 1
n n
positivamente.
Caso x > 3/2 ∞
Il numeratore del termine generale tende a + , il denominatore è infinitesimo e quindi
risulta = +∞
lim a ;
n
→+∞
x
la serie diverge positivamente.
Riassumendo i casi precedenti scriviamo:
2 2
< ⇒ ≥ ⇒
; positivamente.
x la serie x la serie
converge diverge
3 3
Esercizi proposti- Verificare che per le serie seguenti sussistono i risultati indicati
+
+∞ 2 3 x
n n
∑
1.a) −
+
4 1 2 x
n n
=
n 1
Risultato: La serie ;
converge per x<1 ≥ .
diverge positivamente per x 1
+∞ x
n
∑
1.b) − +
x
2 1 5
n
=
n 1 ∨
Risultato: La serie per x<-1 x>2;
converge ≤
positivamente per -1≤ x 2.
diverge
+∞ x
n
∑
1.c) − +
x
4 3
n
=
n 1
Risultato: La serie per x<3/2;
converge
diverge positivamente per x≥3/2.
+∞
∑ −
3 1 nx
n e
2) =
n 1 .
La serie è a termini positivi e si studia agevolmente con il criterio del rapporto
≤
Risultato: La serie e .
converge per x>0 diverge positivamente per x 0
+∞ x
n
∑
3) ( )
+ 2 !
n
=
1
n .
La serie è a termini positivi e la si studia con il criterio del rapporto
∀x∈R.
Risultato: La serie converge
Altre serie che si studiano con il criterio del rapporto
−
+∞ n ( x 1)
e
∑ Risultato: per ogni x reale.
3.a) Converge
!
n
=
n 0 2
+∞ n x
e
∑ Risultato: per x≤0; per x>0.
3.b) Converge diverge positivamente
!
n
=
n 0
+∞ n !
∑ ≤
3.c) Risultato: per x 0; per x>0.
Diverge positivamente converge
2
n x
e
= 0
n
+
+∞ ( n 2)!
∑
4) + ⋅
2
( n 1) n !
=
n 1
Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”-Tricase (Le)
Serie numeriche e serie di funzioni 3
La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Si può semplificare l’espressione del temine
generale: + + + +
( n 2)! ( n 2)( n 1) n ! n 2
= = =
a
n + ⋅ + ⋅ +
2 2
n n n n n
( 1) ! ( 1) ! 1
A questo punto studiando il limite del termine generale
lim a
n
→+∞
n
si evince che non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza ( perché non è
infinitesimo) quindi….
Risultato: La serie positivamente.
diverge
−
2 nx 3
−
+∞
2 n 3
∑
5)
+
4 n 1
=
n 1 La serie è a termini positivi e la si studia con il . Si ha:
criterio della radice
−
2 nx 3
−
2 nx 3
− −
2 n 3 2 n 3 1
n −
= = = x
lim lim 4
n + + x
2
4 n 1 4 n 1 2
→+∞ →+∞
n n − < ⇔ >
x
Risultato: La serie se , positivamente per x≤0.
converge diverge
4 1 x 0
+∞
∑ −
n ( x 2)
e
6) =
n 1 Si tratta di una serie a termini positivi, in particolare è una di ragione
serie geometrica
+ −
( n 1)( x 2)
a e −
= = =
+ x 2
n 1
q e
−
n ( x 2)
a e
n
Una serie geometrica converge se la sua ragione è in valore assoluto minore di uno
< ≥
q 1 ), mentre non converge se . Nel caso in esame se la serie non converge
( q 1
(essendo a termini positivi) diverge positivamente.
Ebbene risulta
−
< < ⇔ <
x 2
0 e 1 x 2
Risultato:
La serie per x<2 e la sua somma vale
converge −
+∞ x 2
a e
∑ − = =
n ( x 2) 1 ;
e −
− − x 2
q e
1 1
=
n 1 .
per x≥2 la serie diverge positivamente
+∞ 1
∑
7) ⋅ log
n n
=
n 2 La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Lo studio del carattere della serie si effettua
.
con il criterio del confronto integrale
Intanto osserviamo che è soddisfatta la condizione necessaria (C.N.) per la convergenza
=
lim a 0
n
→+∞
n
ma proveremo che .
la serie diverge positivamente 1
=
f ( x ) , per x≥2,
Considerando la funzione di variabile reale ⋅ log
x x
proviamo che sono soddisfatte tutte le ipotesi del criterio del confronto integrale:
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Serie numeriche e serie di funzioni 4
= ∀ =
f ( n ) a , n 2,3,... ;
n
la funzione è positiva in tutto
l’intervallo [2;+∞[; 1
= =
lim ( ) lim 0
f x ;
⋅ log
x x
→+∞ →+∞
x x
in ogni punto dell’intervallo
considerato la derivata prima è
strettamente negativa:
+
log x 1
= − <
f '( x ) 0
( ) 2
⋅
x log x
e quindi la funzione è ivi
strettamente decrescente.
Studiando l’integrale
+∞
∫ si ha:
generalizzato f ( x ) dx
2
1 1
+∞ k k
∫ ∫
= = = − = +∞
lim lim log log lim log log log log 2
dx dx x k
&sd
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