M. T. Mazzucato, Triangoli piani e loro risoluzione

L'importanza del triangolo

jpg[/img]Introduzione

Se disegni un punto su un foglio, non ci fai granché: in fondo i punti sono tutti uguali. Se ne disegni due, ottieni un segmento. Se disegni tre punti, hai un triangolo: una figura geometrica così semplice e così incredibilmente ricca di proprietà e stranezze, che gli uomini studiano ormai da tempi immemorabili.
Lo studio del triangolo è cominciato sicuramente assieme allo studio della geometria stessa. Qualche traccia ci è rimasta su tavolette di argilla che risalgono alla civiltà babilonese (XXV a.C.), altre sui papiri egiziani del XX secolo a.C. Stiamo parlando di oltre 4000 anni fa, ma se credete che questo studio sia finito da un pezzo e ormai non ci sia niente più da dire, vi sbagliate di grosso.

Teorema di Morley

Uno degli ultimi teoremi notevoli sul triangolo è stato ottenuto nel 1900 dall'americano Frank Morley: dette trisettrici le due semirette che dividono un angolo in tre parti uguali, si ha che le trisettrici di un triangolo qualunque si incontrano in modo da formare un triangolo equilatero.
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml Il teorema risulta particolarmente interessante non solo perché esprime una proprietà semplice da esporre, comprensibile anche a studenti della scuola secondaria di primo grado, ma soprattutto perché esprime un legame inatteso tra le proprietà della semplice appartenenza di punti e rette (geometria proiettiva) e quelle che richiedono l'uso delle misure (geometria metrica): disegnare un triangolo qualsiasi richiede infatti solo la condizione che i lati congiungano i vertici, costruire un triangolo equilatero richiede invece la possibilità di misurare le lunghezze dei lati per verificarne la congruenza.
Nonostante il risultato sia abbastanza semplice, al punto da pensare “come mai i matematici non se ne sono accorti prima?”, la dimostrazione di Morley si fonda su concetti che non sono tipici della geometria elementare. Per ottenerne una dimostrazione 'elementare' c'è voluto più di un decennio: la prima di queste dimostrazioni si fa risalire a W. E. Philip (1914); una delle più recenti dimostrazioni che io conosca risale al 1998.

Fecondità del teorema di Morley

L'importanza di un teorema si misura anche in termini di fecondità, ossia di conseguenze, o corollari, che da esso si possono dedurre. Il teorema di Morley ha dato luogo a una lunga serie di studi, che ha permesso di ottenere diverse implicazioni. Una abbastanza interessante è stata ottenuta nel 2003: portando all'infinito uno dei vertici del triangolo, in modo che due dei lati del triangolo siano paralleli, il triangolo di Morley continua ad essere equilatero.
http://planetmath.org/encyclopedia/CorollaryOfMorleysTheorem.

Teorema di Erdos-Mordell

html Il risultato di Morley non è un caso isolato, ancora più recentemente è stato dimostrato il teorema di Erdos-Mordell, esposto in forma di problema da Erdos nel 1935 è dimostrato da Mordell nel 1937: in un triangolo qualunque la somma delle distanze di un punto P qualunque dai vertici è maggiore o uguale al doppio della somma delle distanze del punto P dai lati. Anche in questo caso la dimostrazione iniziale non è stata ottenuta con gli strumenti della geometria elementare; una dimostrazione elementare è stata trovata soltanto nel 1945 e attualmente si cercano ancora dimostrazioni semplici e facilmente comprensibili.

Punti notevoli del triangolo

http://mathworld.wolfram.com/Erdos-MordellTheorem.html Tra i punti notevoli del triangolo ricordo infine il punto di Clowson (1881-1964) e il punto di Schiffler (1896-1986) che sono apparsi in pubblicazioni recenti.

Nuove scoperte nella geometria

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html La geometria del triangolo evidentemente non è stata ancora scritta completamente; c'è ancora posto, probabilmente, per nuove e interessanti scoperte. Il computer può oggi aiutare appassionati e studiosi di professione verso nuove scoperte nella geometria elementare? La questione non è semplice. Se gli strumenti di calcolo permettono di cercare nell'insieme dei numeri interi nuove congetture o scoprire nuovi numeri primi, nel campo della geometria la questione è più complessa. Nell'ultimo decennio si vanno affermando software come Cabri Géometre che aiutano in modo eccellente a visualizzare e verificare alcune proprietà geometriche. Si tratta ovviamente di verifiche più o meno sperimentali che possono aiutare a formulare congetture ma che non aiutano ad ottenere dimostrazioni.

Contenuto del libro

In questo libro il lettore troverà raccolte e catalogate le principali proprietà del triangolo, assieme a una breve storia della geometria del triangolo e della trigonometria. Troverà le costruzioni di cui si parla ma non troverà le dimostrazioni dei teoremi. Il libro è fruibile da chi ha una formazione matematica da scuola media superiore e può essere utilizzato da appassionati della matematica, insegnanti e studenti. Una raccolta di questo tipo, aggiornata e completa, non esiste ancora nelle pubblicazioni in lingua italiana.