Concetti Chiave
- La velocità angolare della piattaforma è calcolata come 2,61 rad/s, ottenuta dall'angolo di 90° convertito in radianti e il tempo di rotazione di 0,60 s.
- Il periodo di rotazione della piattaforma è di 2,4 s, determinato moltiplicando il tempo per il numero di quarti di giro in un giro completo.
- La frequenza di rotazione è di 0,416 Hz, calcolata come l'inverso del periodo di rotazione.
- La velocità tangenziale di un oggetto sul bordo della piattaforma è di 1,305 m/s, calcolata utilizzando il valore della velocità angolare e il raggio della piattaforma.
- Le formule utilizzate per i calcoli includono relazioni fondamentali del moto circolare uniforme, come velocità angolare e tangenziale.
Testo dell'esercizio
Una piattaforma rotante ha un raggio di[math]50 cm[/math]
e descrive un angolo di [math]90°[/math]
in un intervallo di tempo pari a [math]0.60 s[/math]
. Calcola:
- il valore della velocità angolare;
- la frequenza di rotazione della piattaforma;
- il periodo di rotazione della piattaforma;
- il modulo della velocità di un oggetto che si trova sul bordo della piattaforma.
Svolgimento dell'esercizio (1)
Il problema riguarda il moto circolare uniforme. In questo caso, la velocità angolare è data dalla formula[math] \omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} [/math]
; prendiamo quindi in considerazione l’angolo di [math]90°[/math]
e il tempo di [math]0.60 s[/math]
.Per questa formula, però dobbiamo considerare la misura dell’angolo non in gradi ma in radianti.
Sappiamo che un angolo di
[math]90°[/math]
corrisponde a [math]\frac{π}{2} rad [/math]
, quindi circa [math] 1,57 rad[/math]
.Si ottiene:
[math] \omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} = \frac{1,57 rad}{0,60 s} = 2,61 \frac{rad}{s} [/math]
Svolgimento dell'esercizio (2)
La frequenza è data dal rapporto fra uno e il periodo, cioè:[math] F = \frac{1}{T}[/math]
.Poiché il problema fornisce un tempo relativo ad un arco di circonferenza con un angolo al centro di
[math]90°[/math]
e il periodo è relativo all’angolo giro, di [math]360°[/math]
, per ottenere il periodo basterà moltiplicare il tempo per [math]4[/math]
:
[math] T = 0,6 s \cdot 4 = 2,4 s [/math]
[math] F = \frac{1}{T} = \frac{1}{2,4 s} = 0,316 s^{-1} = 0,416 Hz [/math]
Svolgimento dell'esercizio (3)
Il periodo lo abbiamo già trovato e corrisponde a[math] 2,4 s[/math]
.
Svolgimento dell'esercizio (4)
La velocità angolare è data dalla formula[math] v = \frac{2 \pi r}{T} [/math]
.Il raggio è
[math]50 cm[/math]
, che corrispondono a [math]0.5 m[/math]
, il periodo è [math]2,4 s [/math]
.Possiamo trovare la velocità tangenziale:
[math] v = \frac{2πr}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 0,5 m}{2,4 s} = 1,308 m/s [/math]
La formula
[math] v = \frac{2 \pi r}{T} [/math]
potrebbe anche essere scritta [math] v = \frac{2π}{T} r [/math]
.Sappiamo però che la formula della velocità angolare, oltre a quella scritta in precedenza, è
[math] \omega = \frac{2}{T} [/math]
, quindi possiamo scrivere [math]v = \omega \cdot r [/math]
.
In questo modo la formula si semplifica, facciamo i conti:
[math]v = \omega \cdot r = 2,61 \frac{rad}{s} = 0,5 m = 1,305 m/s [/math]
Domande da interrogazione
- Qual è il valore della velocità angolare della piattaforma rotante?
- Come si determina la frequenza di rotazione della piattaforma?
- Qual è il modulo della velocità di un oggetto sul bordo della piattaforma?
La velocità angolare è calcolata utilizzando la formula \(\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}\). Con un angolo di \(90°\) (circa \(1,57 rad\)) e un tempo di \(0,60 s\), si ottiene \(\omega = 2,61 \frac{rad}{s}\).
La frequenza è calcolata come \(F = \frac{1}{T}\). Moltiplicando il tempo di \(0,60 s\) per \(4\) (per ottenere il periodo relativo a \(360°\)), si trova \(T = 2,4 s\) e quindi \(F = 0,416 Hz\).
La velocità tangenziale è calcolata con \(v = \frac{2 \pi r}{T}\). Con un raggio di \(0,5 m\) e un periodo di \(2,4 s\), si ottiene \(v \approx 1,308 m/s\). Utilizzando anche la formula \(v = \omega \cdot r\), si conferma che \(v \approx 1,305 m/s\).
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