Conservazione dell'energia e lavoro di una forza

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Analizza un esercizio pratico sulla conservazione dell'energia meccanica, calcolando l'energia cinetica e potenziale di un carrello, la forza di attrito e la compressione di una molla. Scopri come le leggi fisiche si applicano in situazioni reali.

Concetti Chiave

  • L'energia meccanica del carrello nel punto A è di 39,2 J, determinata dall'energia potenziale, poiché la velocità è trascurabile.
  • Nel punto B, l'energia meccanica è pari a 39,2 J, essendo il livello zero di energia potenziale arbitrariamente scelto in quel punto.
  • La forza di attrito nel tratto BC è calcolata come 3,36 N, derivante dal lavoro negativo di -30,2 J su una distanza di 9 m.
  • Il lavoro necessario per comprimere la molla è espresso dalla formula L = 1/2 k x², dove k è la costante elastica di 1000 N/m.
  • Per trovare la compressione della molla, si utilizza la relazione x = √(2L/k), ma il valore specifico di compressione non è fornito nel testo.

Di seguito andremo ad analizzare un esercizio svolto con tre punti in cui viene richiesto di calcolare, utilizzando nozioni teoriche sull'energia meccanica, diverse quantità.

Testo dell'esercizio

Il carrello della figura ha la massa di
[math]2 kg[/math]
e giunge nel punto
[math]A[/math]
con velocità trascurabile.
Nel tratto
[math]AB[/math]
non c'è attrito, nel tratto
[math]BC[/math]
, lungo
[math]9 m[/math]
, il carrello perde energia, perché agisce una forza di attrito costante. Il carrello arriva nel punto
[math]C[/math]
con velocità di
[math] 3 m/s[/math]
e comprime la molla che ha una costante elastica di
[math]1000 N/m[/math]
.
  • Con quale energia meccanica giunge nel punto
    [math]B[/math]
    ?
  • Quanto vale la forza di attrito nel tratto
    [math]BC[/math]
    ?
  • Di quanto si comprime la molla?
carrello_e_molla

Svolgimento dell'esercizio (1)

Secondo il teorema della conservazione dell'energia meccanica, l'energia meccanica nel punto
[math]A[/math]
è uguale a quella nel punto
[math]B[/math]
. Quindi calcoliamo l'energia meccanica nel punto
[math]A[/math]
sommando l'energie cinetica e quella potenziale di quel punto.

Poiché il carrello giunge nel punto

[math]A[/math]
con velocità trascurabile, la sua energia cinetica è nulla; l'energia potenziale, invece, è data dalla formula:

[math] U = mgh \to U_A = 2 kg \cdot 9,8 m/s^2 \cdot 2m = 39,2 J [/math]

Quindi:

[math] E_A = E_B = U_A = 39,2 J [/math]

Ponendo in modo arbitrario il livello zero di energia potenziale nel punto

[math]B[/math]
, sappiamo che l'energia meccanica in
[math]B[/math]
è uguale alla sola energia cinetica di quel punto, quindi:

[math] E_A = U_B + k_B = k_B = 39,2 J [/math]

Svolgimento dell'esercizio (2)

Per determinare la forza di attrito nel tratto
[math]BC[/math]
dobbiamo conoscere il lavoro esercitato dal carrello in quel tratto. Sappiamo che il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica, quindi:

[math] L = \Delta k = k_f - k_i = 1/2 m v_f ^2 - 1/2 m v_i ^2 [/math]

In particolare

[math] L _{BC}= \Delta k = k_C - k_B = 1/2 m v_C ^2 - 1/2 m v_B ^2 [/math]

Troviamo quindi il lavoro esercitato in quel tratto:

[math] L _{BC}= 1/2 \cdot 2 kg \cdot (3 m/s)^2 - 39,2 J = - 30,2 J [/math]

Notiamo che il lavoro nel tratto

[math]BC[/math]
è negativo, proprio perché agisce una forza di attrito. Sapendo che il lavoro è uguale allo spostamento, possiamo determinare la forza di attrito:

[math] L _{BC} = - F \cdot S \to F = - \frac{L_{BC}}{S} [/math]

[math] F = -\frac{L_{BC}}{S} = - \frac{- 30,2 J}{9m} = 3,36 N [/math]

Svolgimento dell'esercizio (3)

Il lavoro esercitato per comprimere la molla è dato dalla formula:

[math] L = \frac{1}{2} k x^2 [/math]

dove

[math]k[/math]
è la costante elastica e vale
[math]1000 N/m[/math]
, mentre
[math]x[/math]
è la lunghezza del tratto di compressione della molla. Troviamo quindi
[math]x[/math]
:

[math] L = 1/2 k x^2 \to x^2 = \frac{2L}{k} \to x = \sqrt{\frac{2L}{k}} [/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'energia meccanica del carrello nel punto B?

    2. L'energia meccanica nel punto B è di 39,2 J, poiché è uguale all'energia potenziale nel punto A, dato che il carrello giunge in A con velocità trascurabile (E_A = E_B = U_A = 39,2 J).

  2. Come si calcola la forza di attrito nel tratto BC?

    3. La forza di attrito nel tratto BC si calcola utilizzando il lavoro negativo esercitato dal carrello, che è pari a -30,2 J. Dividendo questo valore per la distanza di 9 m, si ottiene una forza di attrito di 3,36 N (F = -L_{BC}/S).

  3. Qual è il lavoro esercitato dal carrello nel tratto BC?

    4. Il lavoro esercitato dal carrello nel tratto BC è di -30,2 J, che rappresenta la variazione di energia cinetica tra i punti C e B, evidenziando l'effetto della forza di attrito.

  4. Come si determina la compressione della molla?

    5. La compressione della molla si determina utilizzando la formula L = (1/2) k x². Risolvendo per x, si ottiene x = √(2L/k), dove L è il lavoro necessario per comprimere la molla e k è la costante elastica di 1000 N/m.

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