Flusso di un campo elettrico attraverso una superficie cilindrica

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come calcolare il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie cilindrica. Analizzeremo il flusso laterale e quello delle basi, evidenziando le relazioni tra vettori e angoli, per comprendere il risultato finale del flusso totale.

Concetti Chiave

  • Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è calcolato sommando i flussi infinitesimi tramite il prodotto scalare tra il campo elettrico e il versore normale alla superficie.
  • Nella superficie laterale di un cilindro, il flusso è nullo perché il campo elettrico è perpendicolare alla superficie, formando un angolo di 90°.
  • Il flusso attraverso le basi del cilindro è massimo, poiché il campo elettrico e il vettore superficie sono paralleli, con un angolo di 0°.
  • L'area di base del cilindro è calcolata con la formula S = πr², utilizzata per determinare il flusso attraverso le basi del cilindro.
  • Il flusso totale attraverso il cilindro è nullo, risultando dalla somma del flusso attraverso la superficie laterale e le due basi, che si annullano.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è dato dalla somma di tanti flussi infinitesimi, ciascuno di questi "pezzettini" si calcola facendo il prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il versore normale alla superficie.
Vediamo il testo dell'esercizio in cui calcoleremo il flusso attraverso la superficie laterale, la superficie di base e infine il flusso totale attraverso tutto il cilindro.

Testo dell'esercizio

Un cilindro di raggio
[math]r[/math]
e altezza
[math]h[/math]
è immerso in un campo elettrico uniforme diretto lungo l’asse del cilindro. Determina il flusso del campo elettrico:
  • Attraverso la superficie laterale del cilindro;
  • Attraverso ogni superficie di base del cilindro;
  • Totale attraverso il cilindro.

Svolgimento dell'esercizio

Il flusso del campo elettrico (uniforme) è dato dalla formula

[math] \Phi ( \vec{E} ) = \vec{E} \cdot \vec{S} = E \cdot S \cdot \cos \alpha [/math]

In un qualsiasi punto della superficie laterale del cilindro, il vettore superficie è uscente, ed è perpendicolare alla superficie stessa, quindi anche al vettore campo elettrico. L’angolo che si forma fra essi è quindi di

[math]90°[/math]
.

Il flusso attraverso la superficie è quindi nullo perché il coseno di 90 gradi è nullo:

[math] \Phi ( \vec{E} ) = \vec{E} \cdot \vec{S} = E \cdot S \cdot \cos \alpha = E \cdot S \cdot \cos(90°) = 0 [/math]

Nella superficie di base del cilindro, invece, il vettore superficie e il vettore campo elettrico giacciono sulla stessa retta, e l’angolo che si forma fra essi è di

[math]0^{\circ}[/math]
; ciò significa che il flusso attraverso le basi è massimo.
Per determinarlo, sappiamo che detta S l'area di base di un cilindro si ha:

[math] S= \pi r^2 [/math]
Il flusso sarà quindi:

[math] \Phi (\vec{E}) = E \cdot \pi r^2 [/math]
nella base in cui il vettore superficie e il vettore campo elettrico hanno lo stesso verso, e

[math] \Phi (\vec{E}) = - E \cdot \pi r^2 [/math]
nella base in cui il vettore superficie e il vettore campo elettrico hanno verso opposto.

Si osserva che potevamo giungere alla stessa conclusione tramite simmetria.
Il flusso totale che attraversa il cilindro è dato dalla somma del flusso che attraversa la superficie e da quello che attraversa le due basi:

[math] \Phi (\vec{E})_{\text{Tot}} = 0 + E \cdot \pi r^2 - E \cdot \pi r^2 = 0 [/math]

In definitiva, il flusso è nullo.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la formula per calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie?

    2. Il flusso del campo elettrico è dato dalla formula \( \Phi ( \vec{E} ) = \vec{E} \cdot \vec{S} = E \cdot S \cdot \cos \alpha \), dove \( \alpha \) è l'angolo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie.

  2. Qual è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale di un cilindro?

    3. Il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro è nullo, poiché l'angolo tra il vettore superficie e il vettore campo elettrico è di \( 90^\circ \), rendendo \( \cos(90^\circ) = 0 \).

  3. Qual è il flusso totale attraverso un cilindro immerso in un campo elettrico uniforme?

    4. Il flusso totale attraverso il cilindro è nullo, poiché il flusso attraverso la superficie laterale è zero e il flusso attraverso le due basi si annulla, risultando in \( \Phi (\vec{E})_{\text{Tot}} = 0 \).

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