Esercizio con sbarretta isolante e cariche elettriche

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Analizziamo un esercizio sul calcolo della forza elettrica in un sistema di quattro cariche disposte a rombo. Dimostreremo che, grazie alla simmetria della configurazione, la forza totale su ciascuna carica negativa risulta nulla, utilizzando leggi fisiche e calcoli semplici.

Concetti Chiave

  • Le cariche positive e negative sono disposte in una configurazione a rombo, con triangoli equilateri che ne definiscono la forma.
  • Grazie alla simmetria della disposizione, le forze attrattive delle cariche positive si bilanciano con la forza repulsiva della carica negativa.
  • La trigonometria è utilizzata per calcolare il lato del triangolo equilatero, risultando in una relazione diretta con l'altezza e l'angolo di 60°.
  • Il modulo delle forze attrattive è uguale al modulo della forza repulsiva, confermando che la forza totale su ciascuna carica negativa è nulla.
  • Il ragionamento per il punto B è applicabile anche al punto D, dimostrando che la risultante delle forze è zero in entrambi i casi.

In questo appunto affronteremo un esercizio dimostrativo in cui, in una configurazione abbastanza simmetrica, dimostreremo con dei semplici conti che la forza totale agente su alcune cariche è nulla. Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo dell'esercizio

Una sbarretta isolante di lunghezza  
[math]2a[/math]
 porta ai suoi estremi due cariche puntiformi e uguali  
[math]Q[/math]
 ed è posta nel vuoto. Come è  mostrato in figura, altre due cariche negative, di valore  
[math]-Q[/math]
, sono posizionate in modo da formare due triangoli equilateri con un lato in comune.
Dimostrare che la forza totale agente su ciascuna delle cariche negative è nulla.cariche_elettriche

Svolgimento dell'esercizio

Le quattro cariche in figura sono poste ai vertici di un rombo; è noto inoltre che i lati di un rombo soddisfano la proprietà:
[math] AB = BC = CD = DA [/math]

Inoltre, sappiamo che i due triangoli che formano questo rombo sono equilateri, quindi abbiamo che:

[math] \widehat{DAB} = \widehat{ABD} = \widehat{ADB} = \widehat{DBC} = \widehat{BDC} = \widehat{DCB} = 60^\circ [/math]

Per trovare quindi il lato dei triangoli, conoscendo l'altezza dei triangoli che è

[math]a[/math]
, possiamo sfruttare la trigonometria, per cui il lato è lato, cioè l'ipotenusa, dal rapporto fra l'altezza (il cateto) e il seno dell'angolo opposto:

[math]AB = BC = CD = DA = \frac{a}{\sin {60^\circ}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} [/math]
Tale ragionamento si poteva effettuare anche facendo semplici considerazioni geometriche, secondo il quale è noto che un triangolo equilatero diviso in due è un triangolo 30-60-90.
Nel punto  
[math]B[/math]
, in cui si trova una delle due cariche negative, agiscono tre forze: due attrattive, nei confronti delle cariche positive, e una repulsiva nei confronti della carica negativa.

Concentriamoci sulle prime due.

 

cariche_elettriche

 

La forza risultante fra esse è dato dalla regola del parallelogramma, ed è diretto verso il basso. Poiché gli angoli  

[math] \widehat{ABD} [/math]
  e  
[math]\widehat{DBC}[/math]
sono uguali e misurano  
[math]60^\circ[/math]
, possiamo affermare che il modulo della forza risultante è uguale a quello delle forze che la generano, essendo i tre vettori i lati di triangoli equilateri.
Quindi, calcoliamo il valore delle forze:

[math]F_A = F_C = F_{A,C} = k_0 \cdot \frac{Q \cdot Q}{r^2} = \frac{k_0 \cdot Q^2}{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{3 k_0 \cdot Q^2}{4a^2}[/math]

Nel punto  

[math]B[/math]
 poi agisce anche la forza repulsiva dovuta alla carica situata nel punto  
[math]D[/math]
.

 

cariche_elettriche

 

Questa forza ha stessa direzione della forza risultante da  

[math]A[/math]
 e  
[math]C[/math]
, ma verso opposto. Calcoliamo la sua intensità con la legge di Coulomb:

[math] F_D = k_0 \cdot \frac{Q \cdot Q}{r^2} = \frac{k_0 \cdot Q^2}{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{3 k_0 \cdot Q^2}{4 a^2} [/math]

Notiamo che questa forza ha lo stesso modulo della precedente.
Essendo opposta ad essa, possiamo dedurre che effettivamente, nel punto  

[math]B[/math]
 la risultante di tutte le forze che agiscono è uguale a zero.
Applicando lo stesso ragionamento, si può dedurre che anche nel punto  
[math]D[/math]
, dove è situata l'altra carica negativa, la risultante delle forze è nulla, come volevasi dimostrare.
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la configurazione delle cariche nell'esercizio?

    2. L'esercizio presenta una sbarretta isolante con due cariche positive uguali agli estremi e due cariche negative disposte a formare triangoli equilateri, creando una configurazione simmetrica.

  2. Come si calcola la forza risultante sulle cariche negative?

    3. La forza risultante sulle cariche negative è calcolata utilizzando la regola del parallelogramma, considerando le forze attrattive delle cariche positive e la forza repulsiva della carica negativa, tutte con lo stesso modulo.

  3. Qual è il valore delle forze che agiscono sulle cariche negative?

    4. Le forze attrattive e repulsive che agiscono sulle cariche negative hanno lo stesso modulo, pari a \(\frac{3 k_0 \cdot Q^2}{4 a^2}\), come calcolato con la legge di Coulomb.

  4. Cosa si conclude riguardo alla forza totale sulle cariche negative?

    5. Si conclude che la forza totale agente su ciascuna delle cariche negative è nulla, poiché le forze attrattive e repulsive si annullano a vicenda nel punto in cui si trovano.

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