Energia potenziale di un sistema di quattro cariche

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come calcolare l'energia potenziale di un sistema di quattro cariche puntiformi disposte ai vertici di un quadrato. Analizzeremo il procedimento, le formule necessarie e i risultati per comprendere le interazioni elettriche tra le cariche.

Concetti Chiave

  • Il sistema è composto da quattro cariche puntiformi poste ai vertici di un quadrato, con valori specifici per ciascuna carica.
  • L'energia potenziale totale del sistema è calcolata sommando le energie potenziali di tutte le coppie di cariche, per un totale di sei combinazioni.
  • La formula utilizzata per calcolare l'energia potenziale tra due cariche è U = k0 * (Q1 * Q2) / r, dove r è la distanza tra le cariche.
  • Per le cariche sui vertici opposti del quadrato, si utilizza la distanza della diagonale, calcolata come d = l * √2.
  • Il risultato finale dell'energia potenziale totale per il sistema di cariche è 2,5 * 10^-6 J.

In questo appunto vedremo la soluzione di un esercizio, la cui richiesta è il calcolo dell'energia potenziale di un sistema di 4 cariche puntiformi, poste ai vertici di un quadrato. Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo dell'esercizio

Quattro cariche puntiformi di valori rispettivamente
[math]Q_1 = - 4,0 nC[/math]
,
[math]Q_2 = 2,5 nC[/math]
,
[math]Q_3 = - 3,3 nC[/math]
,
[math]Q_4 = - 4,0 nC[/math]
, occupano nel vuoto i vertici di un quadrato di lato
[math]4,8 cm[/math]
. Determina l'energia potenziale del sistema.

Svolgimento dell'esercizio

Nel caso di cariche puntiformi, l'energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali che si ottengono scegliendo le cariche a coppie in tutti i modi possibili. Dunque andremo a calcolare
[math] 6 [/math]
energie potenziali possibili
[math] \binom{4}{2} = 6 [/math]
.

Calcoliamo quindi ognuna di esse utilizzando la formula dell'energia potenziale

[math] U = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r} [/math]
,
trasformando prima le grandezze nelle giuste unità di misura.

Cominciamo dalle cariche

[math]Q_1[/math]
e
[math]Q_2[/math]
:

[math] U_{1,2} = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_2}{l} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-4,0 \cdot 10^{-9} C \cdot 2,5 \cdot 10^{-9} C}{ 4,8 \cdot 10^{-2} m} = - 18,73 \cdot 10^{-7} J [/math]

Passiamo alle cariche

[math]Q_1[/math]
e
[math]Q_4[/math]
:

[math] U_{1,4} = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_4}{l} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{-4,0 \cdot 10^{-9} C \cdot {-4,0 \cdot 10^{-9} C}}{ 4,8 \cdot 10^{-2} m} = 29,97 \cdot 10^{-7} J [/math]

Per le cariche

[math]Q_2[/math]
e
[math]Q_3[/math]
si ha:

[math] U_{2,3} = k_0 \cdot \frac{Q_2 Q_3}{l} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{ 2,5 \cdot 10^{-9} C \cdot {-3,3 \cdot 10^{-9} C}}{ 4,8 \cdot 10^{-2} m} = - 15,45 \cdot 10^{-7} J [/math]

Infine, per le cariche

[math]Q_3[/math]
e
[math]Q_4[/math]
si ha:

[math] U_{3,4} = k_0 \cdot \frac{Q_3 Q_4}{l} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{ - 3,3 \cdot 10^{-9} C \cdot {-4,0 \cdot 10^{-9} C}}{ 4,8 \cdot 10^{-2} m} = 24,72 \cdot 10^{-7} J [/math]

Nel caso delle altre due coppie, dobbiamo considerare come distanza la diagonale del quadrato, che si ottiene moltiplicando il lato per

[math]\sqrt{2}[/math]
:

[math] d = l \sqrt{2} = 4,8 \cdot 10^{-2} m \cdot \sqrt{2} = 6,79 \cdot 10^{-2} m [/math]

Calcoliamo quindi l'energia potenziale per le cariche

[math]Q_2[/math]
e
[math]Q_4[/math]
:

[math] U_{2,4} = k_0 \cdot \frac{Q_2 Q_4}{d} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{ 2,5 \cdot 10^{-9} C \cdot {-4,0 \cdot 10^{-9} C}}{ 6,79 \cdot 10^{-2} m} = - 13,24 \cdot 10^{-7} J [/math]

E per le cariche

[math]Q_1[/math]
e
[math]Q_3[/math]
:

[math] U_{1,3} = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_3}{d} = [/math]

[math] 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \cdot \frac{ - 4,0 \cdot 10^{-9} C \cdot {-3,3 \cdot 10^{-9} C}}{ 6,79 \cdot 10^{-2} m} = 17,28 \cdot 10^{-7} J [/math]

Sommiamo ora le sei energie potenziali per trovare quella del sistema:

[math] U_{TOT} = U_{1,2} + U_{1,4} + U_{2,3} + U_{3,4} + U_{2,4} + U_{1,3} = {-18,73 + 29,97 - 15,45 + 24,72 + 17,28 - 13,24} \cdot 10^{-7} J = 24,75 \cdot 10^{-7} J = 2,5 \cdot 10^{-6} J [/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è la formula utilizzata per calcolare l'energia potenziale tra due cariche puntiformi?

    2. L'energia potenziale tra due cariche puntiformi è calcolata con la formula \( U = k_0 \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r} \), dove \( k_0 \) è la costante elettrostatica e \( r \) è la distanza tra le cariche.

  2. Quante energie potenziali devono essere calcolate per il sistema di quattro cariche?

    3. Per il sistema di quattro cariche, devono essere calcolate sei energie potenziali, poiché si scelgono le cariche a coppie in tutti i modi possibili, ovvero \( \binom{4}{2} = 6 \).

  3. Qual è l'energia potenziale totale del sistema di cariche?

    4. L'energia potenziale totale del sistema di cariche è \( U_{TOT} = 2,5 \cdot 10^{-6} J \), ottenuta sommando le sei energie potenziali calcolate.

  4. Come si calcola la distanza tra le cariche quando si trovano agli angoli opposti di un quadrato?

    5. La distanza tra le cariche agli angoli opposti di un quadrato si calcola moltiplicando il lato del quadrato per \( \sqrt{2} \), quindi \( d = l \sqrt{2} \).

  5. Quali cariche sono coinvolte nel calcolo dell'energia potenziale negativa nel sistema?

    6. Le cariche coinvolte nel calcolo dell'energia potenziale negativa includono \( Q_1 \) e \( Q_2 \) e \( Q_2 \) e \( Q_3 \), che producono energie potenziali negative rispettivamente di \( -18,73 \cdot 10^{-7} J \) e \( -15,45 \cdot 10^{-7} J \).

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