Elettromagnetismo: Nel circuito della figura si ha ∆V_1 = 12 V , ∆V_2 = 15 V , R_1 = 10 Ω , R_2 = 35 Ω e R_3 = 50 Ω .

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Scopri come risolvere un circuito elettrico utilizzando le leggi di Kirchhoff. Analizzeremo un circuito con due generatori di tensione e tre resistenze, calcolando le correnti e i valori delle resistenze in modo dettagliato e chiaro.

Concetti Chiave

  • Il circuito presenta due generatori di corrente e richiede l'applicazione delle leggi di Kirchhoff per la risoluzione.
  • La legge dei nodi stabilisce che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.
  • Le equazioni delle maglie derivano dalle differenze di potenziale e dalle resistenze nel circuito, portando a un sistema di tre equazioni.
  • Le correnti finali sono state calcolate come i1 = 0,10 A, i2 = 0,12 A e i3 = 0,22 A.
  • Tutte le correnti risultano positive, confermando il verso scelto inizialmente per il loro calcolo.

Nel circuito della figura si ha

[math] ∆V_1 = 12 V[/math]
,
[math] ∆V_2 = 15 V[/math]
,
[math] R_1 = 10 â„&brv\bar;[/math]
,
[math] R_2 = 35 â„&brv\bar;[/math]
e
[math] R_3 = 50 â„&brv\bar;[/math]
.

Determina, in verso e valore, tutte le correnti presenti nel circuito.

Svolgimento

Il problema, dato che il circuito presenta due generatori di corrente, va risolte per mezzo delle leggi di kirchhoff.

Applichiamo per prima cosa la legge dei nodi, per cui la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

[math] i_1 + i_2 = i_3[/math]

Poi, avendo scelto un verso di percorrenza delle maglie, applichiamo la legge delle maglie, per cui la somma delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

Per la maglia più piccola abbiamo:

[math] ∆V_1 - R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 - ∆V_2 = 0 [/math]

[math] 12 - 10 \cdot i_1 + 35 \cdot i_2 - 15 = 0 [/math]

[math] - 10 \cdot i_1 + 35 \cdot i_2 - 3 = 0 [/math]

Per la maglia più grande:

[math] ∆V_2 - R_2 \cdot i_2 - R_3 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] 15 - 35 \cdot i_2 - 50 \cdot i_3 = 0 [/math]

[math] 3 - 7 \cdot i_2 - 10 \cdot i_3 = 0 [/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamo il sistema:

[math][/math] left{\begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ - 10 i_1 + 35 i_2 - 3 = 0&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0 &end{array} \right. [math][/math]

Ricaviamo dalla seconda equazione

[math] i_1[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_1 + i_2 = i_3&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo il valore trovato nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} frac{35 i_2 - 3}{10} + i_2 = i_3&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Esplicitiamo quindi il valore di

[math]i_3[/math]
nella prima equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} frac{35 i_2 - 3 + 10 i_2}{10} = i_3& \ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Otteniamo quindi il seguente valore per

[math]i_3[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0& end{array} \right. [math][/math]

Procediamo sostituendo il valore di

[math]i_3[/math]
nella terza equazione:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 10 * frac{45 i_2 - 3}{10} = 0&end{array} \right. [math][/math]

Dalla terza equazione, quindi, possiamo ricavare il valore della corrente

[math]i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ 3 - 7 i_2 - 45 i_2 + 3= 0&end{array} \right. [math][/math]

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ - 52 i_2 + 6= 0&end{array} \right. [math][/math]

Esplicitiamo quindi il valore di

[math]i_2[/math]
:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 i_2 - 3 }{10}&\ i_1 = frac{35 i_2 - 3}{10}&\ i_2 = frac{6}{52} = frac{3}{26}&end{array} \right. [math][/math]

Sostituiamo tale valore nelle altre equazioni per trovare il valore di tutte le correnti:

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = frac{45 * frac{3}{26} - 3}{10} = 0,22&\ i_1 = frac{35 * frac{3}{26} - 3}{10} = 0,10&\ i_2 = frac{3}{26} = 0.12& end{array} \right. [math][/math]

[math][/math] left{ \begin{array}{ll} i_3 = 0,22&\ i_1 = 0,10&\ i_2 = 0.12& end{array} \right. [math][/math]

Poiché le correnti risultano tutte positive, possiamo affermare che il loro verso è proprio quello che noi avevamo scelto arbitrariamente all'inizio.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la legge fondamentale utilizzata per risolvere il circuito con due generatori di corrente?

    2. Si utilizza la legge dei nodi, che afferma che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti, espressa come \(i_1 + i_2 = i_3\).

  2. Come si applica la legge delle maglie nel circuito descritto?

    3. La legge delle maglie stabilisce che la somma delle differenze di potenziale in una maglia è uguale a zero. Nel circuito, per la maglia più piccola si ha \(12 - 10 \cdot i_1 + 35 \cdot i_2 - 15 = 0\).

  3. Quali sono le equazioni principali ottenute dal sistema di equazioni?

    4. Le equazioni principali sono: \(i_1 + i_2 = i_3\), \(-10 i_1 + 35 i_2 - 3 = 0\), e \(3 - 7 i_2 - 10 i_3 = 0\).

  4. Qual è il valore della corrente \(i_2\) calcolato nel circuito?

    5. Il valore della corrente \(i_2\) è stato trovato pari a \(\frac{3}{26}\), che corrisponde a circa \(0,12 A\).

  5. Cosa si può concludere riguardo al verso delle correnti nel circuito?

    6. Poiché tutte le correnti risultano positive, si conclude che il verso delle correnti è quello scelto arbitrariamente all'inizio della risoluzione.

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