Statistica - esercizi e soluzioni (prima parte)

X Y

≤ ≤

3. Trovare la funzione di ripartizione P(X x;Y y). ≤

4. Qual è la probabilità di osservare fino a 2 realizzazioni di X e 1 di Y?P(X

≤

2;Y 1). | =

5. Trovare la funzione di probabilità condizionata di 0 e quella di

X Y

| = 2.

Y X | |

= =

6. Quanto è 2)? E 3)?

E(X Y E(Y X

2 2

), ), ), ).

7. Calcolare E(X), E(Y E(X E(Y E(XY

8. Calcolare e .

σ σ

x y

9. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare .

ρ

XY

10. Stabilire se X e Y sono indipendenti.

−Y

=

11. Dato 2X , determinare e

Z E(Z) Var(Z). 5

Soluzione

Prima di tutto identifichiamo e le variabili aleatorie e .

X Y

Ω X Y

Ω

TTT 3 0

TCC 1 1

CTC 1 2

CCT 1 1

CTT 2 1

TCT 2 2

TTC 2 1

CCC 0 0 )

1. La funzione di probabilità congiunta è riportata nella seguente tabella

P(X;Y

X Y

0 1 2

0 1/8 0 0

1 0 2/8 1/8

2 0 2/8 1/8

3 1/8 0 0

2. Probabilità marginali della X e della Y

X Y

0 1 2 Totale

0 1/8

1/8 0 0

1 3/8

0 2/8 1/8

2 3/8

0 2/8 1/8

3 1/8

1/8 0 0

Totale 2/8 4/8 2/8 1 6

≤ ≤

3. Funzione di ripartizione P(X x;Y y)

X Y

0 1 2

0 1/8 1/8 1/8

1 1/8 3/8 4/8

2 1/8 5/8 7/8

3 2/8 6/8 1

5

≤ ≤ =

4. 2;Y 1)

P(X 8 | =

5. Funzione di probabilità condizionata di 0

X Y

X Y=0

0 1/2

1 0

2 0

3 1/2

Totale 1 | =

Funzione di probabilità condizionata di 2

Y X

Y X=2

0 0

1 2/3

2 1/3

Totale 1

1 1 3

| · ·

= = + =

6. 2) 1 2

E(X Y 2 2 2

| = =

3) 0

E(Y X 2 2

), ), ), ).

7. Calcolare E(X), E(Y E(X E(Y E(XY

1 3 3 1 3

• · · · ·

= + + + =

0 1 2 3

E(X) 8 8 8 8 2 7

2 4 2

• · · ·

) = + + =

0 1 2 1

E(Y 8 8 8

1 3 3 1

2

• · · · ·

) = + + + =

0 1 4 9 3

E(X 8 8 8 8

4 2 3

2

2 · ·

• · + + =

) = 1 4

0

E(Y 8 8 8 2

2 2 4 4 3

• ) = + + + =

E(XY 8 8 8 8 2 2 r

3 3 3

2 2

− − ⇒

= ) = = = =

8. 3 0.8660

Var(X) E(X E(X) σ x

2 4 4

r

1 1

3

2 2 − ⇒

− = = =

) = ) ) = 1 0.7071

9. Var(Y E(Y E(Y σ y

2 2 2

3

3 − · ⇒

− = =

(X,Y ) = ) ) = 1 0 0

10. COV E(XY E(X)E(Y ρ

XY

2 2

11. Per stabilire se X e Y sono indipendenti calcoliamo le frequenze teoriche di

indipendenza. X Y

0 1 2 Totale

0 1/8

1/32 1/16 1/32

1 3/8

3/32 3/16 3/32

2 3/8

3/32 3/16 3/32

3 1/8

1/32 1/16 1/32

Totale 2/8 4/8 2/8 1

Le frequenze congiunte osservate differiscono da quelle teoriche di indipen-

denza, quindi ed non sono indipendenti.

X Y

12. Determiniamo e come segue,

E(Z) Var(Z)

3

− · −

= ) = =

2E(X) 2 1 2

E(Z) E(Y 2 3 1 7

− · −

= +Var(Y ) ) = + = =

4Var(X) 4Cov(X,Y 4 0 3.5

Var(Z) 4 2 2 8

Esercizio 7

Negli anni si è osservato che la probabilità di laurearsi di uno studente iscritto

alla Facoltà di Economia è pari a 0.35. All’inizio di un anno accademico ven-

gono estratti a sorte (con reinserimento) 10 numeri di matricola. Determinare la

probabilità che, dei 10 studenti così selezionati, se ne laureino:

1. nessuno

2. due

3. almeno uno Soluzione

10 0 10

= = (0.35) (0.65) =

1. 0) 0.0135

P(X 0

10 2 8

= = (0.35) (0.65) =

2. 2) 0.1757

P(X 2

≥ −

= = =

3. 1) 1 0) 0.9865

P(X P(X

Esercizio 8

Un recente studio, mostra che il 75% delle aziende start-up avrà un bilancio pos-

itivo entro 3 anni dall’apertura dell’attività. Vengono intervistate 5 aziende costi-

tuite 3 anni prima.

1. Qual è la probabilità che tutte e 5 le aziende abbiano un bilancio positivo?

2. Qual è la probabilità che più di tre abbiano un bilancio positivo?

3. Qual è la probabilità che meno di 2 di esse abbia un bilancio positivo?

4. Calcolare il valore atteso e la deviazione standard della variabile X.

Soluzione

5 5 0

= = (0.75) (0.25) =

1. 5) 0.2373

P(X 5

> = = + = =

2. 3) 5) 4) 0.6328

P(X P(X P(X 9

< =

3. 2) 0.0156

P(X ·

= =

4. 5 0.75 3.75

E(X) · · ⇒

= = =

5. 5 0.75 0.25 0.9375 0.9682

Var(X) σ 10

Esercizio 1

All’ultimo appello dell’esame di statistica, la media dei voti è stata 25 e lo scarto

quadratico medio 3.5. Determinare i valori standard dei voti

1. 18

2. 25

3. 30

4. Se il voto standardizzato è -1, quanto è stato preso in 30esimi? E se il voto

standardizzateo fosse stato +1?

Soluzione

−

x x̄ −2

= =

1. z σ

=

2. 0

z =

3. 1.1428

z ·

= + (−1) = =

4. 25 3.5 21.5 e 28.5

x x

Esercizio 2

Sia Z la v.c. normale standardizzata. Calcolare:

1. P(-2 < Z < -1)

2. P( Z > 1.52 )

3. P(-2 < Z < 0.89)

4. P(0 < Z < 2.15) Soluzione

1. P(-2 < Z < -1)=Φ(-1)-Φ(-2)=0.1587-0.0228=0.1359

Φ(−1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587

Φ(−2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228 1

2. P( Z > 1.52 )=1-Φ(1.52)=1-0.9357=0.0643

3. P(-2 < Z < 0.89)=Φ(0.89)-Φ(-2)=0.8133-0.0228=0.7905

4. P(0 < Z < 2.15)=Φ(2.15)-Φ(0)=0.9842-0.5=0.4842

Esercizio 3

Un’azienda produttrice di bulloni ha osservato che il diametro medio è di

0.502 cm con uno scarto quadratico medio di 0.005 cm. I bulloni con diametro

maggiore di 0.508 e minore di 0.496 sono da considerarsi difettosi. Assumendo

che i diametri dei bulloni prodotti si distribuiscano secondo una normale, calco-

lare la percentuale di bulloni difettosi.

Soluzione

−

− 0.508 0.502

0.496 0.502 ≥

≤ ≥ ≤ +P =

=

0.496)+P(X 0.508) X

P(X P X 0.005 0.005

≤ −1.2) ≥ −

+ = =

1.2) 2(1 0.2302.

P(z P(z Φ(1.2))

La percentuale dei bulloni difettosi è 23.02%.

Esercizio 4

Si è osservato che l’altezza degli studenti del corso di statistica si distribuisce

secondo una normale con media 175 cm e deviazione standard 8.5 cm. Qual è la

probabilità che uno studente del nostro corso sia alto tra 1.70 e 1.85 metri?

Soluzione

−

− 185 175

170 175

≤ ≤ ≤ ≤

= = =

185)

P(170 X P X Φ(1.18)−(1−Φ(0.59))

8.5 8.5

0.6034

C’è una probabilità del 60.34% di osservare uno studente alto tra 1.70 e 1.85 metri.

Esercizio 5

Un prodotto si ottiene dall’assemblaggio di tre componenti, le cui lunghezze si

distribuiscono come segue 2

∼ 0.01)

X N(2,

1 ∼ 0.02)

X N(4,

2 ∼ 0.02).

X N(3,

3

Sapendo che le lunghezze dei tre componenti sono indipendenti tra di loro, si

determini la probabilità che la lunghezza del singolo pezzo soddisfi gli standard

qualitativi prefissati, che prevedono una lunghezza compresa tra (8.75;9.25)?

Soluzione

= + +

Sia , allora la lunghezza del prodotto ha una distribuzione nor-

Y X X X

1 2 3

male con media 9 e varianza 0.05

∼ ⇒ ∼

+ + + +

4 3; 0.01 0.02 0.02) 0.05).

Y N(2 Y N(9;

⇓

−

− 9.25 9

8.75 9 ≤ ≤

≤ ≤ =

9.25) Z

P(8.75 Y P 0.2236 0.2236

⇓

≤ ≤ · · −

= < < = (Φ(1.12) =

1.12) 2 1.12) 2

P(−1.12 Z P(0 Z Φ(0))

· −

(0.8686 =

2 0.5) 0.7372.

Esercizio 6

Siano date 2 variabili aleatorie indipendenti distribuite secondo una Normale,

∼ 25)

X N(0,

1 ∼ 36).

X N(0,

2

< = +

Calcolare la probabilità che 3.6) con 3X .

P(Y Y X

1 2

Soluzione

−

3.6 0

√

< = < = < =

3.6) 0.19) 0.5753.

P(Y P Z P(Z

349 3

Esercizio 7

Siano date 4 variabili aleatorie indipendenti, tutte distribuite secondo una normale.

• ∼ 25)

X N(25,

1

• ∼ 100)

X N(25,

2

• ∼ 49)

X N(49,

3

• ∼ 100)

X N(49,

4 = + + +

Come si distribuisce la variabile aleatoria 2X 3X 4X ?

Y X

1 2 3 4

Soluzione

· · ·

) = + + + =

25 2 25 3 49 4 49 418

E(Y · · ·

) = + + + =

25 4 100 9 49 16 100 2466

Var(Y ⇓

∼ 2466)

Y N(418,

Esercizio 8

Per raggiungere Termini da Tor Vergata, è necessario prendere la metropolitana

per 15 fermate e un autobus per 6 fermate. Il tempo di attesa della metropolitana

è distribuito come una Normale con valore atteso 5 minuti e deviazione standard

1 minuto, mentre quello di attesa per l’autobus numero 20 ha media 6 minuti

e deviazione standard 2 minuti. Anche i tempi di percorrenza sono distribuiti

normalmente: quello in metropolitana con media 30 minuti e deviazione standard

10 minuti; mentre, quello dell’autobus ha media 15 minuti e deviazione standard

3 minuti. Qual è la probabilità di impiegare più di un’ora per raggiungere Tor

Vergata? E di metterci meno di 45 minuti?

Soluzione

= tempo attesa metro

X

1 = percorso metro

X

2 = tempo attesa autobus 20

X

3 = percorso autobus 20

X

4

= + + +

Y X X X X

1 2 3 4 4

) = ) + ) + ) + ) = + + + =

5 30 6 15 56

E(Y E(X E(X E(X E(X

1 2 3 4

) = ) +Var(X ) +Var(X ) +Var(X ) = + + + =

1 100 4 9 114

Var(Y Var(X

1 2 3 4

−

60 56

√

≥ ≥ ≥

(Y = =

60) 0.37) 0.3556

P P z P(Z

114

−

46 56

√ ≤ −0.94) −

≤ ≤ = = =

= 1 0.8264 0.1736

46) P(Z

P(Y P z 114

Esercizio 9

Si analizza un processo produttivo in base al contenuto medio di zucchero. Si

osserva che il 4.5% dei prodotti viene scartato perché ha un contenuto di zuc-

chero inferiore a 35 grammi: mentre il 7% viene scartato perchè presentano un

contenuto di zucchero superiore a 50 grammi. Ammettendo che il contenuto di

zucchero abbia una distribuzione normale, qualè il modello normale che meglio

rappresenta l’