Geometria e Algebra - Endomorfismo esercizi svolti

SVOLGIMENTO:

Verifichi innanzitutto se

A = (0 2 -1

-1 2 -1 è una base di R3;

2 -1 0)

poi ti trovi una rappresentazione cartesiana di questo sistema:

(x,y,z) = a(0,2,-1)+b(-1,2,-1)+c(2,-1,0)

e ti viene:

(-b+2c=x

2a+2b-c=y

-a-b=z)

risolvi questo sistema con Cramer, spero che tu lo sappia fare e ti viene:

(a=x+2y+3z

b=-x-4z-2y

c=-y-2z)

poi ti trovi le componenti della trasformazione facendo così:

f(x,y,z) = a·f(v )+b·f(v )+c·f(v )=

1 2 3

a·(5,-5) + b·(4,-6) + c·(1,4)=

(x+2y+3z)·(5,-5)+(-x-4z-2y)·(4,-6)+(-y-2z)·(1,4)=

ora calcoli questi lunghi prodotti:

5x+10y+15z,-5-10y-15z) + (-4x-16z-8y,6x+24z+12y)+

(-y-2z,-4y-8z)=

facendo le somme tra le componenti omologhe alla fine ti trovi:

f(x,y,z)=(x+y-3z,x-2y+z)

Ora è banale calcolare l'immagine del vettore e viene: (12,-24)

Data un applicazione lineare, x,y,z => x + y, y +z , z

Trovare le basi e dimensione del kerf e dell'imf

Per trovare il kerf devo fare il sistema tale che :

x+y=0

y+z=0

z=0

E mi faccio DIMENSIONE SOTTOSPAZIO = n°incognite-p matrice associata

Mi trovo una base tramite le soluzioni risolvo il sistema e mi trovo una base associando ad eventuali parametri dei

valori casuali.

Per trovare imf devo fare il sistema tale che :

x+y=t

y+z=t

z=t

E qui posso trovarmi la dimensione sia facendo dimV - dimKer, che facendo n°incognite-p matrice

Quindi risolvo il sistema e mi trovo le soluzioni prima, e poi le basi dando valori casuali ad eventuali parametri.

Per trovare la dimensione e una base dell'immagine:

Eguagli a 0 l'equazione di trasformazione e ti calcoli il rango della matrice associata, tale rango è la dimensione

dell'immagine, una sua base è un insieme di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice associata.

Per trovare la dimensione e una base del nucleo:

Risolvi il sistema precedente, le soluzioni del sistema sono una base del nucleo, la dimensione del nucleo la trovi

applicando il teorema delle dimensioni, quindi ottieni che vale->dimensione del dominio della trasformazione meno la

dimensione dell'immagine.

Sia F l’endomorfismo di R^3 tale

F(x,y,z)=(x,hx+y+2z,x-z)

Dire per quali dei seguenti valori di h l’endomorfismo F è diagonalizzabile

• h = 0

• h = 1

• h = -1

basta che prendo l abase canonica di R^3,calcolo le immagini di ogni vettore tramite F e li metto in colonna...

sottraggo t alla diagonale principale e calcolo il polinomio caratteristico..

calcolo le radici(gli autovalori) che lo annullano portandomi indietro anche l'h...

cerco di capire in base all'h quali sono gli autovalori,e verifico per quali h posso avere tutti autovalori distinti...

se esiste un h che me lo permette,allora la mx è diagonalizzbile...

(x,y,z)-->(x+y+z,-2hy,x+z)

a) Per quali h il vettore(1,1,0) appartiene a Imf

b) Per quali valori di h, f è diagonalizzabile

Trova prima una base dell'immagine e poi vedi se il vettore ci appartiene, cioè se sono linearmente dipendenti.

f(1,0,0)->(1,0,1)

f(0,1,0)->(1,-2h,0)

f(0,0,1)->(1,0,1)

Il primo e il terzo sono linearmente dipendenti, quindi la base è : Imf= L((1,0,1),(1,-2h,0))

Metti a sistema con il vettore dato e vedi per quali valori il determinante è zero.

Si consideri l’endomorfismo Fh(x,y,z)=(x+y+z,hy,x+z)

Determinare i valori di h tali che Fh sia diagonalizzabile ed esibire, nei casi di diagonalizzabilità,una matrice

diagonale rappresentativa di Fh.

Una volta trovati i valori di h per cui la matrice è diagonalizzabile, ti trovi una base per ciascun autospazio del

polinoimo caratteristico. Fatto questo prendi come riferimento la base formata dagli autovettori di fh (cioè i vettori

degli autospazi). Poi ti calcoli le immagini di ognuno di questi vettori, calcoli l'isomorfismo coordinato ad R "fi" per

ogni vettore trovato ed i vettori che ne escono li devi incolonnare in una matrice, che è la matrice diagonale. Dal

momento che quell'esercizio che hai postato l'ho fatto, ti scrivo i vari passaggi.

1) Ti dovresti trovare che fh è diagonalizzabile per h=1, con autovalori uguali a 0, 2, 1 e relative molteplicità alg. e

geom. uguali tutte ad 1.

2) Una base per l'autospazio V0 è formata dal vettore (-1, 0, 1); una base per l'autospazio V2 è formata dal vettore (1, 0,

1); una base per l'autospazio V1 è formata dal vettore (0, -1, 1).

3) A questo punto prendi questi tre vettori come riferimento, cioè:

R = {(-1, 0, 1), (1, 0, 1), (0, -1, 1)}

e calcoli le immagini:

f(-1, 0, 1) = (0, 0, 0); f(1, 0, 1) = (2, 0, 2); f(0, -1, 1) = (0, -1, 1)

4) Ora calcoli "fi" in questo modo:

fi(0, 0, 0) = (0, 0, 0) = colonna 1 matrice --> il vettore (0, 0, 0) al secondo membro è il risultato dell'operazione:

a(-1, 0, 1) + b(1, 0, 1) + c(0, -1, 1) = (0, 0, 0) --> qui si trova proprio che a = 0, b = 0, c = 0, cioè il vettore (0, 0, 0) del

secondo membro di fi.

Per gli altri vettori ragionando sempre allo stesso modo, si trova:

fi(2, 2, 2) = (0, 2, 0) = col. 2 della matrice;

fi(0, -1, 1) = (0, 0, 1) = col. 3 della matrice.

5) A questo punto ti trovi la seguente matrice diagonale:

( 0 0 0 )

Af = ( 0 2 0 )

( 0 0 1 )

NOTA: come hai fatto a trovare la base per ogni autospazio?

Prendendo ad esempio il caso dell'autospazio V0, si sostituisce nella matrice del polinomio caratteristico 0 al posto di t

e si moltiplica quella matrice per il vettore delle incognite, poi si eguaglia tale prodotto al vettore nullo. Si fa in questo

modo:

La matrice generale del polinomio caratteristico è questa:

( 1-t 1 1 )

P(t) = ( 0 -t 0 )

( 1 0 1-t )

Per t = 0, si ha:

AUROSPAZIO V0

( 1 1 1 ) ( x ) ( 0 )

( 0 1 0 ) * ( y ) = ( 0 )

( 1 0 1 ) ( z ) ( 0 )

Questo prodotto mi dà il sistema:

{ x + y +z = 0

{ y = 0

{ x + z = 0

Risolvendo tale sistema si trova come soluzioni:

x = -z; y = 0; z = z

V0 = {( -z, 0, z ) appartiene ad R3 / z appart. R }

Per z = 1 si ottiene una base per l'autospazio V0:

V0 = L(( -1, 0, 1 )) --> dim V0 = 1 = m.g. 1

Poi applica tale metodo per gli altri autospazi.

Si consideri l’endomorfismo Fh(x,y,z)=(x+y+z,hy,x+z)

Determinare i valori di h tali che Fh sia diagonalizzabile ed esibire, nei casi di diagonalizzabilità,una matrice

diagonale rappresentativa di Fh.

Ti determini la matrice associata all'endomorfismo e dalla diagonale principale ti sottrai sempre una costante(sia k),

risolvi il determinante e ti trovi i valori di k per i quali il determinante si annulla e quelli senza dubbio sono gli

autovalori. Poi credo che la matrice rappresentativa sia semplicemente la matrice diagonale che ha sulla diagonale

principale gli autovalori trovati.

NOTA: Però non riesco ad imporre la condizione con la quale riesco a trovare le h per cui risulta diagonalizzabile

ti troverai nel determinante dei valori di h e devi imporre il valore di h in modo che, ad esempio, gli autovalori siano

tutti diversi! Infatti c'è un teorema che da condizione sufficiente di diagonalizzabilità che dice appunto che un

endomorfismo è diagonalizzabile se accade che gli autovalori sono tutti diversi fra di loro.

Il problema è che essendo l'endomofrismo Fh(x,y,z)=(x+y+z ,hy,x+z) hai una matrice nella quale ti trovi che l'auto

valore k=1 già è presente 2 volte.

Infatti:

(1 1 1)

M=(0 h 0)

(1 0 1)

quindi :

(1-k 1 1)

M=(0 h-k 1)

(1 0 1-k)

Che valore dovrei dare ad h ?

Scusa ho sbagliato a dire una cosa! Non si tratta di una matrice diagonale ma di una matrice che ha per colonne gli

autovettori dell'endomorfismo.

Cmq sia io ho fatto l'esercizio e ho trovato che gli autovalori sono:

k1=h

K2=0

k3=2

nella seconda riga devi avere 0 h-k 0 ; c'è un errore rifai i calcoli e vedi che ti trovi.

F(x,y,z)--->(x-2y+hz,y,y-z)"Dire per quali valori di h F è diagonalizzabile

(Diagonalizzazione di un endomorfismo, soprattutto quelli dove il parametro non compare sulla diagonale principale

della matrice associata)

Per essere diagonalizzabile l'endomorfismo, gli autovalori devono essere regolari, cioè la molteplicità algebrica deve

essere uguale alla molteplicità geometrica

Faccio la matrice, invertendo righe e colonne:

1 -2 h

( 0 1 0

0 1 -1)

Dopo di che A-tIn =

(1-t -2 h

0 1-t 0

0 1 -1-t

trovi i valori di t facendo il determinante

ora verifichi che la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica per tutti i valori di t, nel qual caso F è

diagonalizzabile.

SVOLGIMENTO: ℝ?

NOTA: come hai fatto a trovarti h=4 e x ogni h €

Devi vedere quando la dimensione di:

(0 -2 h

0 0 0

0 1 -2) è uguale a 2 sè h è diversa da 4 avremmo che y=z=0 e il generico vettore (x,0,0) quindi dim è uguale a 1 e la

m (1)=1≠m (1)=2

g a

Dato un endomorfismo di questo tipo: Fh(x,y,z)=(x,y,y+hz)

ℝ

devi verificare per quali valori di h € l'endomorfismo è diagonalizzabile.

ℝ3,

Per prima cosa ti prendi la base canonica di trovi l'immagine dei vettori, li metti sotto forma di matrice e fai la

trasposta. Ti troverai (ammesso che non abbia fatto errori di calcolo) questa matrice:

(1 0 0

0 1 0 = 0

0 1 h)

per cui facendo tutti i conti, vedrai che ti rimane solo il parametro h, che devi porre ovviamente uguale a 0 (per sapere

quanto vale h).

Ora all'interno della matrice al parametro h sostituisci il valore 0...

(1 0 0

0 1 0 = 0

0 1 0)

e ti trovi la matrice per il calcolo del polinomio caratteristico. Hai una cosa di questo tipo:

p(t)=|1-t 0 0

0 1-t 0

0 1 -t)

poiché la matrice è triangolare inferiore, allora il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale

2

principale della matrice, quindi: (1-t) (-t)

a questo punto ti trovi le radici del polinomio, che sono t = 1, t = 1, t = 0.

Poichè la molteplicità algebrica rispetto al valore 0 è 1, allora necessariamente anche la molteplicità geometrica di 0 è 1

(cfr. teorema relativo).

m (0)=m (0)=1

a g

Manca da verificare solo se la molteplicità algebrica e geometrica rispetto a 1 coincidono. Per far questo si sostituisce

al posto di t il valore 1 all'interno del polinomio caratteristico e si ha:

T = (0 0 0

0 0 0

0 1 -1)

poiché la molteplicità geometrica si calcola sottraendo al numero delle incognite, il rango della matrice T

3-ρ(T) => 3-1=2 =>

quindi ma(1)=mg(1)=2 F è diagonalizzabile per h = 0 e i valori di t sono gli autovalori della matrice del polinomio

h

caratteristico.

Fh(x,y,z)=(hx+hy,x+y,2hx+