Metodi matematici per l'ingegneria - Teoria

Analisi complessa

Teoria dell’integrazione

Teoria della misura. Plurirettangoli e loro misura. Misura interna ed esterna e misurabilità secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann e sue proprietà. Misura di Lebesgue di un aperto e di un compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Insieme di Cantor. Misurabilità di Q e Qⁿ. Valore principale e problemi di definizione degli integrali oscillanti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: convergenza totale, uniforme e semplice; Teorema di Lebesgue. Controesempi.

Funzioni di una variabile complessa

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui. Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e continuità. Funzioni inverse e regioni fondamentali. Logaritmo complesso. Continuità del logaritmo e delle potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe. Derivabilità e differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo complesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettono primitiva. Teorema dell’integrale nullo di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Applicazioni. Integrali di Fresnel.

Serie di potenze e funzioni analitiche

Serie di potenze in campo complesso. (Teorema di derivazione per serie). Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Goursat e di Morera. Zeri di funzioni analitiche. Principio di identità. Prolungamento analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.

Singolarità isolate e residui

Punti di singolarità isolata e loro classificazione. Residui. Calcolo di residui nel caso di poli. Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di sviluppabilità. Classificazione delle singolarità isolate con le serie di Laurent e applicazione al calcolo di residui.

Teorema dei residui. Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con il metodo dei residui.

Serie di Fourier

Richiami sulle serie di Fourier e loro espressione in forma complessa. Richiami sugli spazi vettoriali complessi. Proiezioni ortogonali. Disuguaglianze di Bessel, e (identità di Parseval). Lemma di Riemann-Lebesgue in L². (Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier.) (Convergenza delle serie di Fourier in senso L²).

Trasformate di Fourier e di Laplace

Definizione di trasformata di Fourier (TF). Legame tra serie e trasformate di Fourier. Continuità e proprietà asintotiche della TF. Simmetria della TF. Proprietà algebriche della TF. (Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.) TF della derivata e derivata della TF. (TF della gaussiana). (Formula di inversione) e di dualità. I teoremi di Fubini e Tonelli. Prodotto di convoluzione e sua TF. Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale spazio. Teorema di Plancherel. Funzioni di quadrato sommabile e operatore TF sul tale spazio.

Definizione di trasformata di Laplace (TL). Proprietà asintotiche della TL. Proprietà algebriche e differenziali della TL. Continuità della TL. TL della derivata e derivata della TL. Teorema del valore finale e del valore iniziale. Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier. Prodotto di convoluzione e sua TL. Utilizzo della Trasformata di Laplace nelle equazioni differenziali e integrazione TL di segnali periodici. Prodotti di serie bilatere.

Analisi complessa

Teoria dell’integrazione

Teoria della misura. Plurirettangoli e loro misura. Misura interna ed esterna e misurabilità secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann e sue proprietà. Misura di Lebesgue di un aperto e di un compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Insieme di Cantor. Misurabilità di ℚ e ℚⁿ. Valore principale e problemi di definizione degli integrali oscillanti. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: convergenza totale, uniforme e semplice; Teorema di Lebesgue. Controesempi.

Funzioni di una variabile complessa

Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui. Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e continuità. Funzioni inverse e regioni fondamentali. Logaritmo complesso. Continuità del logaritmo e delle potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe. Derivabilità e differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo complesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettono primitiva. Teorema dell'integrale nullo di Cau