Riassunto esame Statistica, prof. Lombardo, libro consigliato MatMix - Probabilità e Statistica per ingegneri, Alberto Lombardo

STATISTICA

LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA GESTIONALE

C. Scimeca, R. Scimeca

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO | SCUOLA POLITECNICA

Prefazione

Il presente testo costituisce una sintesi completa del corso di Statistica, di A.Lombaro, ed è

diviso in due sezioni: “Calcolo delle probabilità” e “Statistica inferenziale”. Le fonti sono il

libro di testo consigliato "MatMix - Probabilità e Statistica per ingegneri" (A.Lombardo),

appunti presi a lezione, altro materiale didattico e, dove necessario, approfondimenti sul

web.

Quanto leggerete spiega in modo semplice ma efficace i concetti della visione probabilistica,

e della statistica inferenziale. Con una buona lettura del seguente e con un po' di esercizio

sarete in grado di affrontare la maggior parte delle tipologie di problemi probabilistici e di

statistica inferenziale (quali determinazione degli intervalli di confidenza, verifiche d'ipotesi

parametriche e non). il presente file ne costituisce un ottimo riassunto. Si assicurano ottime

PROBABILITÀ di successo!

I principali argomenti trattati sono, per quanto riguarda la prima parte: assiomi della

probabilità, sistemi in serie e parallelo, teorema di bayes, variabili aleatorie discrete

(bernoulliana, Poisson, ipergeometrica, etc.) e continue (esponenziale, Weibull, Gamma,

Gaussiana, etc.), momenti delle variabili casuali, teorema limite centrale e legge dei grandi

numeri. Al termine si trovano dei prontuari contenenti le tavole statistiche più importanti.

C S – R S

LAUDIO CIMECA ICCARDO CIMECA

Per quanto riguarda la seconda parte si parla invece di: stima di un parametro, distorsione

di uno stimatore, verosimiglianza, intervalli di confidenza, lemma di Neyman-Pearson,

confronto tra campioni, analisi della varianza ad uno e due fattori, e regressione lineare

semplice e multipla.

Si augura una buona lettura,

I Dottori, R S – C S

ICCARDO CIMECA LAUDIO CIMECA

Università degli studi di Palermo – Corso di Laurea Triennale in

Ingegneria Gestionale

Sintesi del corso di Statistica (del Professore A.Lombardo)

S I G

S I G

TT

AA

TT

II

SS

TT

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

T A

T I S T I C

A P E R N

G

E G

N E R

I A E S T I O

N

A

L E

C ’

C ’

AA

LL

CC

OO

LL

OO DD

EE

LL

LL

EE PP

RR

OO

BB

AA

BB

II

LL

II

TT

ÀÀ

A

L C

O

L O D E L L E P R

O

B

A B

I L I T À

L

L À

T

I

L

I

B

A

B

O

R

P

A À

T

I

L

I

B

A

B

O

R

P

A

C

a

p i

t o

l

o 1

. p

e n

d

e n

z a ( 1 . 1 )

A s s i o

m

i , i

n

s i e m e d

e l

l e p

a r t i , i n

d

i p

e n

d

e n

z a ( 1 . 1 )

A s s i o

m

i , i

n

s i e m e d

e l

l e p

a r t i , i n

d

i

Una prima misura di probabilità, in un caso molto semplice, può essere data dal rapporto di casi favorevoli

v alla realizzazione di un evento, e il numero n di tutti i casi che possono verificarsi:



 

0 1

n

Quale che sia la concezione della probabilità scelta e in qualunque modo una probabilità possa essere

formulata, vi sono alcune regole che devono essere rispettate affinché si possa applicare la probabilità ad un

insieme di possibili realizzazioni dell’esperimento aleatorio (casuale), o eventi, che costituiscono uno spazio

campionario A. Dunque ci proponiamo di definire la probabilità attraverso una impostazione assiomatica,

che consente di concentrarsi esclusivamente sulle regole che qualunque assegnazione deve rispettare. Poiché

la probabilità è una misura su cui faremo operazioni algebriche e insiemistiche quali unione, intersezione e

negazione , dal primo spazio deve definirsi un altro spazio cui appartengano non solo tutti gli eventi di A,

1

ma anche tutte le possibili unioni, intersezioni fra essi, e relativi eventi complementari, compreso l’evento

certo Ω. Definiamo quindi tale spazio Ϟ e in esso prendiamo per veri i seguenti assiomi:

 

( ) 1

11

.. P (la misura massima della probabilità è convenzionalmente normalizzata ad 1)

1 .  

( )

P A

  

( ) 0 ( ) ( )

 

22

.. P A P A P A

(la probabilità è una misura non negativa)

2 . 

( )

 

P

      

( ) ( ) ( )

33

.. A A P A A P A P A

3 . 1 2 1 2 1 2

 

        

( ) ( ) ( ) ( )

se A A P A A P A P A P A A

1 2 1 2 1 2 1 2

Il terzo assioma asserisce che la probabilità di eventi incompatibili (cioè che si escludono mutuamente) è

additiva. Date le precedenti definizioni si può parlare di assegnazione di una misura di probabilità ad un

insieme di eventi quando è definita la terna: { A, Ϟ , P } . In questo modo possiamo misurare la probabilità

degli eventi che compongono A, ma anche degli eventi che ne possono derivare. Se un insieme è costituito

da elementi tra loro incompatibili ed esaustivi (cioè costituiscono una partizione completa dello spazio

campionario), la probabilità dell’unione di qualunque coppia o terna, etc, di eventi è data dalla somma delle

probabilità dei singoli, mentre la probabilità di qualunque intersezione è nulla. Se invece gli eventi non

costituiscono una partizione si può operare in due modi: determinare la probabilità delle intersezioni

coinvolte o costruire lo spazio degli eventi elementari. È ovvio che una generalizzazione della prima

procedura porta, all’aumentare del numero di eventi, ad un calcolo impraticabile. Dato uno spazio di eventi

non partizionato, costruire lo spazio degli eventi elementari consiste nel riassegnare gli eventi in modo che

questi siano incompatibili ed esaustivi. Per esempio, vogliamo determinare la probabilità che, lanciando tre

monete, si ottenga almeno una testa. A tal proposito indichiamo con T l’insieme che rappresenta l’evento

1

che esca testa alla prima moneta, T alla seconda, T alla terza. Utilizziamo il diagramma di Venn per

2 3

costruire lo spazio degli eventi elementari: 

Gli eventi elementari possono essere scritti come segue:

       

... ...

1 Se T è un evento, allora è il suo negato. Vale: T T T T T T

1 2 1 2

n n

R S – C S 1

R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

E C A LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

E C

A

M

E C A M

E C

A

I C

C A

R D

O C

I M

E C A L A

U

D

I O C

I M

E C

A

S I G

S I G

TT

AA

TT

II

SS

TT

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

T A

T I S T I C

A P E R N

G

E G

N E R

I A E S T I O

N

A

L E

’

C ’

C

AA

LL

CC

OO

LL

OO DD

EE

LL

LL

EE PP

RR

OO

BB

AA

BB

II

LL

II

TT

ÀÀ

A

L C

O

L O D E L L E P R

O

B

A B

I L I T À

           

; ; ;

E T T T E T T T E T T T E T T T

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3

           

; ; ;

E T T T E T T T E T T T E T T T

5 1 2 3 6 1 3 2 7 3 2 1 8 1 2 3

Utilizzando gli eventi elementari possiamo scrivere:

           

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

P T T T P E P E P E P E P E P E P E P E P E

1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 8

Può calcolarsi il numero di eventi elementari sapendo che esso è costituito dal numero di modi m di

presentarsi di ogni evento (in questo caso 2: testa o croce) elevato al numero di eventi n. Nel nostro caso 2 .

3

Occorre ora definire che cosa si intende per un evento A subordinato ad un altro B. Ammettiamo di aver

espresso P(A) e successivamente siamo venuti a conoscenza che si è verificato l’evento B. Occorre esprimere

la valutazione di probabilità su A alla luce della nuova conoscenza di B (che indichiamo con P(A|B) ). Se il

verificarsi di B non influenza P(A), allora A e B diconsi indipendenti (e vale P(A)=P(A|B) ), dipendenti

altrimenti. Come quarto assioma della probabilità si ha: 

( )

P A B



( | )

P A B ( )

P B

Infatti il verificarsi di B ha ristretto tutto lo spazio Ω a quella porzione contenuta in B, e quindi ciò che di A

può verificarsi è la sua parte che interseca B. Dunque si può assumere, come condizione di indipendenza:



( )

P A B

    

( | ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P A B P A P B

( )

P B

È chiaro che se A è indipendente da B, allora B è indipendente da A, e in tal caso si può facilmente

dimostrare che vale P(B|A)=P(B). Si ponga attenzione sul fatto che, se due eventi sono incompatibili, non

possono essere indipendenti e viceversa. Per l’indipendenza non vale la proprietà transitiva, ossia se A e B

sono indipendenti, e B e C sono indipendenti, non è detto che A e C lo siano. Se però è assodato, in un certo

caso, che tre eventi A, B e C sono tutti indipendenti tra di loro, allora possiamo così esprimerne la condizione

di indipendenza (che può estendersi ad n eventi tutti indipendenti tra di loro):

  

( ) ( ) ( ) ( )

P A B C P A P B P C

S

i s t e m i i n s e r i e e i n p

a r a l l e l o

, f o

r m u

l a d

i B

a y

e s ( 1 . 2 )

S

i s t e m i i n s e r i e e i n p

a r a l l e l o

, f o

r m u

l a d

i B

a y

e s ( 1 . 2 )

Si definisce sistema in parallelo un sistema composto da un certo numero di componenti elementari, di cui

basta che ne funzioni almeno uno affinché tale sistema funzioni. Per esempio per raggiungere Y da X vi

siano due strade alternative e su ciascuna vi sia un ponte; basta che solo uno di essi sia funzionante. Si

definisce sistema in serie un sistema composto da un certo numero di componenti elementari che devono

funzionare tutti contemporaneamente affinché tale sistema funzioni. Ci proponiamo di determinare come

calcolare la probabilità che tali sistemi funzionino. Siano A e B due eventi di cui conosciamo P(A) e P(B). Lo

   

, , ,

A B A B A B A B . L’unico evento che non porta ad un

spazio degli eventi partizionato è:

sistema funzionante, nel caso di sistema in parallelo, è il quarto. Possiamo calcolare la probabilità dell’unico

caso in cui il sistema non funziona, e quindi ricavare la probabilità di funzionamento come il suo

  

    

 

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ,

complemento all’unità. Se i due eventi sono indipendenti: P A B P A P B P A P B

 

S

Dunque, se P(S) è la probabilità che un certo sistema in parallelo funzioni, e P( ) quella che non funzioni,

ed estendendo il ragionamento ad n componenti elementari si ha:

 

 n

    

( ) 1 ( ) 1 1 ( )

P S P S P A

 i

1

i

Per un sistema in serie invece devono funzionare tutti i componenti, e dunque l’unico caso favorevole è



A B

rappresentato da . Dunque se A e B sono indipendenti: P(S)=P(A)P(B). Dunque, per n componenti:

 n



( ) ( )

P S P A

 i

1

i

, A , …, A sono equiprobabili, allora le precedenti assumono la forma:

Se tutti gli eventi A n

1 2  

   

n

( ) 1 1 ( ) ; ( ) ( ) n

P S P A P S P A

parallelo serie

Naturalmente se abbiamo un sistema in parallelo, all’aumento del numero di componenti aumenta la

probabilità di funzionamento del sistema. Viceversa per sistemi in serie.

Supponiamo ora di aver osservato il risultato di un esperimento che può dipendere da differenti cause, e di

voler determinare quale sia la probabilità che a generare il risultato sia stata questa o quella causa.

R S – C S

2 R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

E C A LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

E C

A

M

E C A M

E C

A

I C

C A

R D

O C

I M

E C A L A

U

D

I O C

I M

E C

A

S I G

S I G

TT

AA

TT

II

SS

TT

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

T A

T I S T I C

A P E R N

G

E G

N E R

I A E S T I O

N

A

L E

C ’

C ’

AA

LL

CC

OO

LL

OO DD

EE

LL

LL

EE PP

RR

OO

BB

AA

BB

II

LL

II

TT

ÀÀ

A

L C

O

L O D E L L E P R

O

B

A B

I L I T À

Formalmente si abbia lo spazio degli eventi partizionato secondo quelle che chiameremo cause: C , C ,…,C n

1 2

(dunque ammettiamo che a generare quel risultato possa essere stata

una ed una sola di quelle cause). Su tale spazio si sovrapponga lo spazio

dei risultati, per esempio risultato positivo A o negativo “A negato”

(nell’esempio in figura n = 4). Per esempio una serie di pezzi

provengano da un certo numero di macchine che possono produrre



pezzi buoni ( ) o difettosi (A); si estragga un pezzo a caso e, avendo

visto che esso è difettoso, si voglia determinare la probabilità che esso

sia stato prodotto da una o dall’altra macchina. È necessario, a tal fine,

che siano note le probabilità a priori P(C ). Inoltre devono essere note le

i

verosimiglianze, ossia le probabilità che ciascun effetto sia prodotto dalle varie cause P(A|C ), nell’esempio la

i

difettosità delle diverse macchine. Ciò che si cerca sono le probabilità a posteriori P(C |A). Si consideri che:

i ( ) ( | )

P C P A C

      

( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) i i

P C A P A P C A P A C P C P A C P C A

i i i i i i ( )

P A

Per ricavare P(A) si consideri la seguente uguaglianza:      

              

( ... ) ...

A A A C C C A C A C A C

1 2 1 2

n n



( )

Inoltre, data l’incompatibilità delle cause, sappiamo che gli eventi sono incompatibili. Dunque:

A C

i 

      n

         

( ) ... ( ) ( | ) ( )

P A P A C P A C P A C P A P A C P C

1 2 

n i i

1

i

( | ) ( )

P A C P C



( | ) i i

P C A (formula di Bayes)



i n ( | ) ( )

P A C P C

 j j

1

j

R S – C S 3

R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

E C A LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

E C

A

M

E C A M

E C

A

I C

C A

R D

O C

I M

E C A L A

U

D

I O C

I M

E C

A

S I G

S I G

TT

AA

TT

II

SS

TT

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

T A

T I S T I C

A P E R N

G

E G

N E R

I A E S T I O

N

A

L E

C ’

C ’

AA

LL

CC

OO

LL

OO DD

EE

LL

LL

EE PP

RR

OO

BB

AA

BB

II

LL

II

TT

ÀÀ

A

L C

O

L O D E L L E P R

O

B

A B

I L I T À

V

V

A

R I A

B I

L I A

L E A

T O R I

E

C

a

p i

t o

l

o 2

. A

R I A

B I

L I A

L E A

T O R I

E

V a r i a b

i

l i d

i s c r e t e , c o

n

t i n

u

e e m u

l t i p

l e ( 2 . 1 )

V a r i a b

i

l i d

i s c r e t e , c o

n

t i n

u

e e m u

l t i p

l e ( 2 . 1 )<