Statistica - Formule, proprietà, postulati, definizioni

Teoria Statistica

Tipo 1

• Quali sono i vantaggi del campionamento rispetto al censimento?

  • riduzione costi
  • risparmio di tempo
  • maggiore qualità delle info
  • maggiore quantità delle info

• Elencare le proprietà della frequenza relativa f_j

  1. 0 ≤ f_j ≤ 1   ∀j=1,...,h
  2. ∑_j=1^h f_j = 1

• Elencare le proprietà della frequenza percentuale p_j

  1. 0 ≤ p_j ≤ 100   ∀j=1,...,h
  2. ∑_j=1^h p_j = 100

• Proprietà della frequenza assoluta n_j

  1. 0 ≤ n_j ≤ m   ∀j=1,...,h
  2. ∑_j=1^h n_j = n

• Proprietà della media aritmetica

  x̄ = (1/m) ∑_i=1^m x_i

  1. internalità: x₍₁₎ ≤ x̄ ≤ x_(m)
  2. somma a zero degli scarti: ∑_i (x_i - x̄) = 0

TEORIA STATISTICA

TIPO 1

(non è detto che ci sia)

• Quali sono i vantaggi del campionamento rispetto al censimento?
  • Riduzione costi
  • Risparmio di tempo
  • Maggiore qualità delle info
  • Maggiore quantità delle info
• Elencare le proprietà della frequenza relativa f_j
  1. 0 ≤ f_j ≤ 1   ∀ j = 1,...,k
  2. ^k∑_j=1 f_j = 1
  f_j = m_j⁺ / m
• Elencare le proprietà della frequenza percentuale p_j
  1. 0 ≤ p_j ≤ 100   ∀ j = 1,...,k
  2. ^k∑_j=1 p_j = 100
  p_j = f_j · 100
• Proprietà della frequenza assoluta m_j
  1. 0 ≤ m_j ≤ m   ∀ j = 1,...,k
  2. ^k∑_j=1 m_j = n
  n_j = f_j · m
• Proprietà della media aritmetica
  1. ̄x = 1/m · ^m∑_i=1 x_i
  2. Intensità: x_(u) < ̄x < x_(m)
  3. Somma a zero degli scarti: ^m∑_i=1 (x_i - ̄x) = 0

1. somma dei quadrati degli scarti è minima¹
   1. ¹
2. invarianza alle trasformazioni lineari²

5. associatività, obtiamo la ope
   • definizione la mediana x0
     • 1) internazionali^(x), x →
     • 2) x₀ = minim c∑
     • 3) distribuzione x = di de -
       • proprietà della varianza^(x)
       • v(x)=

1. v(x) > 0
2. v(x)= 0 e
3. se   y_i = a + b_x

Proprietà della SD

• SD(x) > 0
• SD(x) = 0 se x è costante
• ∀i, i = a + bx ⇒ SD(y) = |b| SD(x)

Definire il k-esimo percentile

x_p è quel valore t.c. F(x_p) = p

Tipo 2 (c'è ma sempre 1)

Sia dato uno spazio di probabilità Σ e sia A un evento di Σ, indagare le proprietà della funzione di probabilità P(A)

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(∅) = 0 , P(Σ) = 1

Enunciare il postulato empirico del caso (cioè del frequentismo della probabilità)

In un gruppo di prove ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi A presenta con una frequenza relativa che tende alla probabilità dell'aumento del numero di prove

P(A) = ^M/_{M + ε}, dove ε → 0 per m → ∞

Elencare i postulati del calcolo delle probabilità

• Gli eventi formano un'algebra (di Boole)
• ∀A ⊆ Σ P(A) ≥ 0
• P(Σ) = 1
• ∀ A, B disgiunti: A∩B = ∅, la loro unione P(A∪B) = P(A) + P(B)

TIPO 3

• Definire in generale il supporto di una VC x

  Il supporto S_X è l'insieme dei possibili valori che la VC x può assumere

• Definire in generale il valore atteso di una VC x

  E(x) = Σ_x∈Sx x P(X=x)

• Elencare le proprietà del valore atteso
  1. x_min ≤ E(x) ≤ x_max
  2. E[x - E(x)] = 0
  3. E(x) = argmin_c E[(x-c)²]
  4. Se y = a + bx allora E(y) = a + bE(x)
• Elencare le proprietà della funzione di prob. f(x)
  1. 0 ≤ f(x) ≤ 1
  2. Σ_x∈Sx f(x) = 1
• Elencare le proprietà della funzione di ripartizione F(x)

  F(x) = P(X ≤ x)

  1. Monotonia: ∀x₁ < x₂, F(x₁) ≤ F(x₂)

2)₀

lim_x→−∞F(x)=0, lim_x→+∞F(x)=1

3)

continuità a dx

lim_x→x0⁺ F(x)=F(x₀)

(la funz. ci ripeteremo più fort. anche i der.)

4)

P(a<x≤b) = F(b) - F(a)

Definire la V.C Bernoulli e tutte le sue proprietà

X ~ Ber (π)

1. _X = {0, 1}
2. f_(X) = π^X (−π)^1−X oppure f_(X) = {bπ ,͠se Χ=11−π, se Χ=0}
3. Θ = [0, 1], cioè 0≤π≤1, dove m∈ℤ⁺
4. E(X) = π
5. V(X) = π(1-π)

Definire la binomiale con tutte le sue proprietà

X ~ Bin (m, π)

1. _X = {0, 1, ..., m}
2. f_(x) = ( ^m_x) π^x (1−π)^m−x
3. Θ = [0, 1], cioè 0≤π≤1, dove m∈ℤ⁺
4. E(X) = mπ
5. V(X) = mπ(1-π)
6. Proprietà riproduttiva della binomialesono Χ₁, ...,Χ_kV.C indi. pendenti, dove Χ_i ~ Bin (ℳ, π)posto ℒ = Χ₁ + ... + Χ_k, alloraℒ_k ~ Bin (ℓ_k + ... + ℓ_k, π)

1. Definire la Poisson con tutte le sue proprieta

1. S_X = {0, 1, 2, ..., n}
2. f_X(x) = ¹/_x! λ^x e^-λ
3. Θ = ℝ⁺, cioe λ > 0
4. E(x) = λ
5. V(x) = λ
6. Proprieta riproduttiva: siano x₁, ..., x_m m VC indip. ident. dove x_i ~ Poiss(λ_i) , S_m = x₁ + ... + x_m ~ Poiss(λ₁ + ... + λ_m)

2. Definire la Normale con tutte le sue proprieta

1. S_x = ℝ, cioe (-∞, +∞)
2. f_x(x) = ¹/_√(2π)σ² e^{-½ (x-µ/σ)²}
3. Θ = ℝ x ℝ⁺, cioe Θ = { -∞ < µ < +∞ ; 0 < σ² < +∞ }
4. E(x) = µ
5. V(x) = σ²
6. X ~ N(µ, σ²), Y = a + bX → Y ~ N(a+bµ, b²σ²)
7. X ~ N(µ_x, σ_x²) , Y ~ N(µ_y, σ_y²)
8. X e Y indipendenti → X + Y ~ N(µ_x + µ_y, σ_x² + σ_y²)

Proprieta della normale

Definire la variabile χ² (Chi-Quadro)

Siano z₁, ..., z_m m VC IID, dovez_i ~ N(0,1)

1. χ₁² = z₁² + ... + z_m² = ∑_i=1^m z_i²
2. S_m = ℝ⁺
3. Θ = { 1, 2, ..., } = m, dove m sono i gradi di libertà
4. E(χ₁²) = m
5. V(χ₁²/m) = 2m

Definire la t-Student

Sia Z ~ N(0,1), con y ~ χ²_m,Z e y indipendenti

1. t_m = Z/√(y/m)
2. S_tm = ℝ
3. è campanulare, simmetrica rispetto allo zero, e con code più alte rispetto alla Normale e l'andamento dipende dai gradi di libertà
4. E(t_m) = 0
5. V(t_m) = m/(m-2)
6. Θ = { 1, 2, 3, ..., m }

TCL per la somma

Def: sono \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) m VC IID, t.c.

\( V(x_i) = \sigma^2 \) e \( E(x_i) = \mu \)

posso

\( S_m = x_1 + x_2 + \ldots + x_m \)

allora,

\( S_m \sim N(m \mu, m \sigma^2) \)

Osservazioni:

1. \( E(S_m) = E(x_1 + x_2 + \ldots + x_m) \) \( = E(x_1) + E(x_2) + \ldots + E(x_m) \) ma visto che sono IID, il valore di \( E = \mu \) \( = \mu + \mu + \ldots + \mu = M\mu \)
2. \( V(S_m) = V(x_1 + x_2 + \ldots + x_m) \) \( = V(x_1) + V(x_2) + \ldots + V(x_m) \) \( = \sigma^2 + \sigma^2 + \ldots + \sigma^2 \) \( = m \sigma^2 \) quindi fare \( \sqrt{m} \sigma \)
3. Se \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) fossero tutte normali indipendenti \( x_i \sim N( \mu, \sigma^2 ) \) \( S_m \sim N(m \mu, m \sigma^2 ) \)

TCL per la media

Def: siano \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) m VC IID t.c.

\( E(x_i) = \mu \) e \( V(x_i) = \sigma^2 \)

posso

\( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_m}{m} = \frac{S_m}{m} \)

allora

\( \overline{x} \xrightarrow{a} N \left( \mu, \frac{\sigma^2}{m} \right) \)

OSSERVAZIONI:

^1o. E(x) = E(M) = ¹⁄_m E(S_m) = ¹⁄_m E(cS_m) = ^m_u⁄_m = u

^2o. V(x) = V(M) = V(^S_m⁄_m) = ¹⁄_m² V(S_m) = ¹⁄_m² var s² = ^S2⁄_m²

_....

TCL per la PROPORZIONE (o fateri relat trebui)

Det: Siamo x₁, x₂, ..., x_m a VC di Bernoulli (o di coloniiche); x_i ~ Bern (prog)

poso

- = x1 + x2 + .... + xmm

Inoltre

^- ~ N (^u, ^u_u(1-_u)⁄_m)

_----------

TIPO 5

Induzione il volore atteso e varianza della media campionia ne del caso di un campionamento casuale semplice senza nēimmirtione (OOS-SLE)

E(x̄) = ^S_u2 ⁄_m

V(x̄) = ^O2⁄_m [^{N - m}⁄_{N - 1}]

in cui N è la numerasita tole defta popolnecione

_..........

Deservere le propriete desideraili per cue vtinatoren per un esseroso

_1^O CORRETTEZZA: Se h uno enmmatorio per m, ^u_h e corretto se e solo se E(h) = o

_2^O EFFICIENZA

_—Se h stimatore per ufl, e ^uk≠⁰ e h ha piena efficienza se C_E(h-ref) = 1, ^w⁄_ornost ≠ u

h ha piena efficienza se C_E(h) = ^C⁄_E(81)

.....

Definire l'errore quadratico medio (MSE) di uno stimatore e le sue decomposizione

MSE(h) = E[(h - θ)²] = V(h) + β²(h) dove β(h) = E(h) - θ

Se h è corretto, MSE(h) = V(h).

Definire le proprietà asintotiche degli stimatori (solo per m → ∞)

Sia h uno stimatore per θ:

1. Correttezza asintotica: h è corretto asintotico se

E(h) → θ

m → ∞

2. Consistenza: h è consistente (in media quadratica) per θ, se

MSE(h_m) → 0

m → ∞

V(h_m) → 0 , β²(h_m) → 0

m → ∞

• Riportare le proprietà degli stimatori di massimo verosimiglianza

Sia Θ̂ uno stimatore di massimo verosimiglianza per Θ:

1. E(Θ̂) → Θ

m → ∞

2. V(Θ̂) → I^-1(Θ) (dove I^-1 è la minima varianza possibile)

m → ∞

3. Θ̂ ≃ N(Θ, I^-1(Θ))

4. È invariante alle trasformazioni monotone, cioè se

ψ = g(Θ) → φ = g(Θ̂) ∀ g incompleta

dove si può scrivere g(Θ̂) = g(̂Θ)

Definire e spiegare gli errori del I e del II tipo

Accetto H₀ Accetto H₁ Ho vera Errore I tipo α Ha vera Errore II tipo β

Errore I tipo è rifiutare H₀ quando è vera e si commette con probabilità α

Errore II tipo è accettare H₀ quando è falsa e si commette con probabilità β

Definire la potenza del test

Accetto H₀ Accetto H₁ Ho vera Errore I tipo α Ha vera Errore II tipo β

La potenza del test è 1-β ovvero la probabilità di accettare H₁ quando è vera

Definire il livello di confidenza

Il livello di confidenza della stima di un parametro θ è la "fiducia" che si ripone nel fatto che l'intervallo di confidenza cada sul parametro. In altri termini è la probabilità che il tale contenga θ. 1-α = P(θ ∈ IC) = P(θ| X̄ ± z_α se(X̄)) = P(θ ∈ (H(X̄) ± h_seX̄))

Riportare la definizione del livello di significatività di un test statistico specificando il suo significato

P(T > t_os | H₀ vera)

Distinzione tra SD e SE

SD(x): σ = √(1/m Σ (x_i - ̅)²)

SE(θ̂) = √V(θ̂)

SE = σ/√m

V(̅) = σ²/m

Importante la definizione di funzione di verosimiglianza

sia f(x, Θ), un modello e sia x₁, ..., x_m i componenti, si definisce la funzione di verosimiglianza per Θ

L(Θ) ∝ ∏_i=1^m f(x_i, Θ)

... e misura la verosimiglianza dei valori Θ alle basi

Tipo 8

Elencare e descrivere gli assunti del modello di regressione

1. = ₀ + + corretta specificazione
2. E() = 0
3. V() = ² ∀, omoschedasticità
4. COV(, ) = 0, esogeneità
5. La covarianza tra i vari residui è nulla COV(, ) = 0 ∀ ≠ , i residui sono tra loro indipendenti
6. ∼ (, ²) ⟷ ∼ (₀, , ²)

Elencare e descrivere le proprietà degli stimatori della retta di regressione

1. ̂₀ e ̂₁ sono stimatori corretti E(̂₀) = ₀ , E(̂₁) = ₁
2. Teorema di Gauss-Markov Nella classe degli stimatori corretti per ₀ e ₁, ̂₀ e ̂₁ hanno varianza minima

Indicare le proprietà del coefficiente di correlazione

1. -1 ≤ ≤ 1
2. è un numero puro
3. è simmetrico =
4. è invariabile alle trasformazioni lineari = + ⟶ [ℎ | ]

5. R_xy misura l'associazione lineare tra x e y; se l'associazione è non lineare allora R non funziona.

• Descrivere l'analisi dei residui nella verifica degli assunti del modello di regressione

^e_i = y_i - ŷ_i = y_i - (β₀ + β₁ ^x̄_i)

• 1) E(^e_i) = 0
• 2) V(^e_i) = σ² costante si osserva la nube dei residui e si valuta se questi hanno una forma oblungata
• 3) COV(^e_i, ^e_j) = 0
• 4) COV(^e_i, x) = 0
• 5) ^e_i ~ N(0, σ²) si verifica osservando l'istogramma dei residui, se tale istogramma assomiglia

• Riportare la scomposizione della varianza della variabile y e lo schema di analisi della varianza nel modello di regressione

TSS = RSS + ESS

TSS = ^mΣ_i=1 (y_iA - y̅)²

residual sum of squares → RSS = ⁿΣ_i=1 (y_i - ŷ_i)

explained sum of squares → ESS = ^mΣ_j=1 (ŷ_j - ÿ_j)²

Schema di analisi della varianza