Statistica – Equazioni

Corso farmacia 2007/08

Lezione 1 del 01/10

Definizioni fondamentali

Def. 1 Si dice monomio qualunque espressione algebrica che si può ottenere con un numero finito di moltiplicazioni di variabili e costanti reali.

Es. 1: 1, 22, ab; xy; 2

Def. 2 Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

Def. 3 Si dice grado del monomio la somma degli esponenti di tutte le variabili che compongono la parte letterale.

Es. 2: ( ) = grado 2 ab²; ^{1 2} = grado xy³;

Def. 4 Si dice monomio in una variabile qualunque espressione che si può scrivere nella forma \( k = M(x) = ax^n \) con a numero reale e k un intero positivo.

Def. 5 Si dice polinomio una somma algebrica di più monomi.

Def. 6 Si dice grado del polinomio il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono.

Es. 3: \( P(x) = 2x^4 + 5x^2y + x^2y^2z \) { grado max 4,5,6 } = 6

Def. 7 Si dice polinomio di grado n in una indeterminata x la seguente espressione: \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)

Per polinomio intendiamo dunque una somma finita di potenze dell’indeterminata x con esponenti interi non negativi e dotate di coefficienti numerici. Quindi, un polinomio è la somma di più monomi nella stessa indeterminata.

Espressioni letterali e calcoli

Data una espressione algebrica letterale \( A(x) = 2x^2 + x - 1 \), al variare dei valori che assegniamo alla x, otteniamo diversi valori della A.

Es. 4:

• A(0) = 2 × 0 + 0 - 1 = -1;
• A(-3) = 2 × (-3)^2 + (-3) - 1 = 14;
• A(2) = 2 × 2^2 + 2 - 1 = 9;

Equazioni e identità

Considerate due espressioni, si possono avere le seguenti situazioni: \( A(x) = B(x); A(x) < B(x); A(x) > B(x) \).

Def. 8 Date due espressioni, se per ogni x si verifica che \( A(x) = B(x) \), allora si ha una identità tra A e B.

In generale, date \( A(x) \) ed \( B(x) \), si ha che \( A(x) = B(x) \) solo per alcuni valori di x.

Def. 9 Un’uguaglianza verificata solo per alcuni valori x si dice equazione.

Def. 10 Si dice soluzione di un’equazione un valore dell’incognita per il quale la relazione di uguaglianza diventa una identità numerica.

Un’equazione si dice intera quando l’incognita non compare a denominatore. Un’equazione si dice frazionaria quando l’incognita compare a denominatore. Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare nell’argomento di un radicale.

L’equazione sarà determinata se ammette un numero finito di soluzioni. Se ne ammette infinite sarà indeterminata, se non ammette soluzioni si dirà impossibile.

Equazioni polinomiali e teoremi

Def. 11 Dato un polinomio \( P(x) \), l’equazione \( P(x) = 0 \) si dice di tipo equazione polinomiale.

Teorema 1: (Teorema fondamentale dell’algebra) Un polinomio di grado n a coefficienti complessi possiede esattamente n radici, contando ciascuna radice con la relativa molteplicità.

Conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra: Un’equazione polinomiale di grado n ammette al massimo n soluzioni nell’insieme dei numeri reali, alcune delle quali potrebbero essere coincidenti.

Equazioni equivalenti

Def. 12 Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni.

Criteri di equivalenza fra equazioni

Primo criterio: Data l’equazione \( A(x) = B(x) \), aggiungendo (sottraendo) ad ambedue i membri una terza espressione \( M(x) \), si ottiene un’equazione equivalente, in formule: \( A(x) = B(x) \Leftrightarrow A(x) + M(x) = B(x) + M(x) \)

Tale criterio ci permette di riscrivere un’equazione del tipo \( A(x) = B(x) \) nella forma \( C(x) = 0 \) dove \( C(x) = A(x) - B(x) \).

Secondo criterio: Data l’equazione \( A(x) = B(x) \), moltiplicando (dividendo) ambedue i membri con una terza espressione \( M(x) \), a condizione che \( M(x) \neq 0 \), si ottiene un’equazione equivalente, in formule: \( A(x) = B(x) \Leftrightarrow A(x) \cdot M(x) = B(x) \cdot M(x) \)