Statistica e calcolo delle probabilità - Appunti

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Aggiornato il 13/04/2026

di lorenzolosi94

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Appunti di Statistica e Calcolo delle Probabilità o anche denominata Elementi di Statistica e Calcolo delle Probabilità per l’esame del professore Fausto Ferrari corso di …

Esame Statistica e calcolo delle probabilità

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrari Fausto

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2013-2014

86 pagine

Appunto

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Estratto del documento

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

(cerchiamo di costruire modelli matematici ragionevoli di fenomeni aleatori)

INSIEME DELLE PARTI

Se Ω è un insieme, chiamiamo insieme delle parti (o insieme potenza) di Ω il seguente insieme:

(Ω) = {A: A⊆Ω}

SIGMA ALGERBRA

Sia Ω un insieme, sia C⊆(Ω) famiglia di parti dell'insieme delle parti di Ω.

Diciamo che C è una σ-algebra su Ω se C soddisfa le seguenti proprietà:

∅, Ω ∈ C
∀ A ⊆ Ω, anche A^C ∈ C (dove A^C = Ω ∖ A)
∀ {A_i}_i∈ℕ famiglia ∈ C, anche ⋃_i A_i ∈ C e ⋂_i A_i ∈ C

esempio

se Ω è numerico () è l'insieme delle parti di Ωallora (Ω) è una σ-algebra infatti:

se Ω = {1,2,3} (Ω) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}

la cui σ-scrittura richiede 3 chiamate dello σ-calcolo

Chiaramente, dato Ω, (Ω), si considera una σ-algebra.

FUNZIONE DI PROBABILITÀ

Sia Ω un insieme, sia C una σ-algebra su Ω,

sias P: C → [0,1] una funzione detta P funzione di probabilità (o probabilità) sulla C σ-algebra se soddisfa le seguenti proprietà:

Calcolo delle Probabilità

(Cerchiamo di costruire modelli matematici razionali di fenomeni aleatori)

Insieme delle Parti

Se Ω è un insieme, chiamiamo insieme delle parti (o insieme potenza) di Ω il seguente insieme:

P(Ω) = {A : A ⊆ Ω}

Sigma Algebra

Sia Ω un insieme, sia ℂ ⊂ P(Ω) famiglia di parti dell'insieme delle parti di Ω

diciamo che ℂ è una σ-algebra su Ω se ℂ soddisfa le seguenti proprietà:

∅, Ω ∈ ℂ
∀ A ∈ ℂ, anche A^C ∈ ℂ (dove A^C = Ω \ A)
∀ {A_i}_i∈ℕ famiglia ∈ ℂ, anche ⋃_i A_i ∈ ℂ e ⋂_i A_i ∈ ℂ

esempio

se Ω è numerabile P(Ω) è l'insieme delle parti di Ω

allora P(Ω) è una σ-algebra, infatti:

se Ω = {1, 2, 3}, P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

la cui Ω è costituita 3 elementi dello σ-algebra

Chiamiamo, dato Ω, P(Ω) e σ l'inverso dello σ-algebra (⊂ ℙ(Ω))

Funzione di Probabilità

Sia Ω un insieme, sia ℂ una σ-algebra su Ω,

sìa P: ℂ → [0,1] una funzione

diciamo che P è una funzione di probabilità (o probabilità)

sulla ℂ σ-algebra se soddisfa le seguenti proprietà:

1 P( Ω ) = 1

2 ∀ ∑ A_k ⊆ Ω successione di elementi contenuti nella σ-algebra allora 2020 disgiunti t.c.

Vj,s ∈ N, j = s, A_i ∩ A_s = ∅ ; P( ⋃_i=1 A_i ) = ∑_n=1 P( A_i )

In particolare, se abbiamo una famiglia finita di insiemi

se A, B ⊆ Ω ; A ∩ B = ∅

allora P( A∪B ) = P( A ) + P( B )

SPAZIO DI PROBABILITA

Sia Ω un insieme (dei possibili risultati),

Chiamiamo spazio di probabilita su Ω la terna ( Ω, ℰ, P).

esempio:

Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

P( ω ) numero estratto o delle carte di Ω

e uno σ-algebra su Ω. Definire P: P( ω ) → [0,1]

P( { i ≤ 3 ) = P costante

= P( Ω ) = P( ⋃{ A_i } ) = ∑ P( A_i ) = 10

P( A ) = 1 / 10

A ∈ { 1, 2, 3 }

P( A ) = P( ⋃{ i } ) = ∑_i P( { i } ) = ∑_i 1 / 10 = 3 / 10

P( A ) = # A / # Ω = ( N / # Ω ) · # A

({ N / # Ω }) = P

questa distribuzione di probabilita detta PROBABILITA UNIFORME Ω discreti

(calcolata quindi con elementi numerabili) mentre l'intero non "TRUCATO".

LEGGENDA

P( ξ : X ⟩ a ) si legge come "la probabilita relativa all’evento X ⟩ a"

CARDINALITÀ DI UN INSIEME

Sia A un insieme, diremo che A ha cardinalità m ∈ ℕ, n ≥ 1, se esiste una funzione iniettiva e suriettiva (biiettiva):

f : {1, 2, 3, …, m}^1-1→ A

indichiamo la cardinalità di A #A

INSIEME NUMERABILE DI CARDINALITÀ ℵ

Sia A un insieme

diremo che A è numerabile se esiste una funzione f : ℕ^1-1⇔ A iniettiva e suriettiva

L'insieme dei numeri pari (2ℕ) e dei numeri dispari (2ℕ+1) è numerabile, cioè

#2ℕ = #ℕ e #2ℕ+1 = #ℕ

infatti:

f : ℕ → 2ℕ
- m → 2m
ammette iniettiva

L'insieme dei numeri razionali (ℚ) è detto numerabile cioè

#ℚ = #ℕ

infatti:

f : ℕ → ℚ ∩ Q : {a_n∈ℕ\{0} ∃ n ∈ ℕ\{0}}
={ (m, n) ∈ ℝ² m∈ℚ∖ℕ∋m∕ℕ; s∃}

Da qui si deduce l'nessere un sottinsieme del vice verso N e quindi numerabile diverso.

Q è dedu...... e Mittel è densome quanto anti-cancellativa, è sufficiente onnel ∀ x ∈ X ∃∃ s'∖f'∖f... 1.

L'insieme dei numeri reali (ℝ) non è numerabil

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