Cinematica e Statica delle Travature con Esercizi, Scienza delle costruzioni

Richiami di Cinematica dei Corpi Rigidi

27 Marzo 2014

Cinematica

• Cinematica, descrizione dell'evoluzione della posizione dei punti che compongono un corpo materiale, indipendentemente dalle cause che determ.
• Indicato con B il corpo materiale, l'unica profig. fisica richiesta è quella di occupare regione dello spazio euclideo E
• Infatti perciò B si identifica con una regione R dello
• Si dice configurazione del corpo, qualunque regione di E che esso può occupare; fra queste tenevissa una in particolare, che viene chiamata config. di riferimento Ω
• ∃ punti P ∈ Ω vengono detti punti materiali

Studiare l'evoluzione significa studiare la funzione f, detta determinazione, che descrive l'evoluzione delle configurazioni di B nello spazio :

• f: Ω → E

funzione deve essere biunivoca, regolabile

∃ posso ad ogni punto P della configurazione : corrisponde f(P) della configurazione detta attuale

P ≃ f(P)

Richiami di cinematica dei corpi rigidi

27 Marzo 2014

Cinematica

• Cinematica, descrizione dell'evoluzione della posizione dei punti che compongono un corpo materiale, indipendentemente dalle cause che determinano tale evoluzione.
• Indicato con _B il corpo materiale, l'unica proprietà fisica richiesta è quella di occupare regioni dello spazio escludendo _E.
• In altre parole _B si identifica con una regione _Λ dello spazio.
• Si dice configurazione del corpo, qualunque regione di _E che esso può occupare; fra queste tenetene fissa una in particolare, che viene chiamata configurazione di riferimento _Λ.
• I punti _{P ∈ Λ} vengono detti punti materiali.A noi vogliamo studiare l'evoluzione di questi punti ∈ _E.
• Studiare l'evoluzione → significa studiare la funzione _f, detta di deformazione, che descrive l'evoluzione delle configurazioni di _B nello spazio:

_{f: Λ → E}

 funzione

  variabile, una variabile vettoriale,deve essere biunivoca, regolare.

→ Posso associare a ogni punto _P della configurazione _P il corrispondente _f(P) della configurazione detta attuale

 _{P → f(P)}

CONFIG. DI RIFERIMENTO

CONFIG. ATTUALE O DEFORMATA

Questi punti p e q si trasformano per effetto della deformazione in f(q) f(p)

Introduco con nozione di CAMPO DI SPOSTAMENTO: descrittore cinematica definito con:

μ_P = f (P) - P

può essere definito il punto materiale e alla continuità di un campo vettorialeDefinita la deform. uniforme, denotato con sposti-

DEFORMAZIONE E’ RIGIDA oppure uno SPOST E’ RIGIDO

Se resta inalterata la distanza reciproca dei punti materiali del corpo

In modo analitico esprime questo concetto:

⇒ | f(P) - f(q) | = | p - q |   ∀ p, ∋ ℭ

La TRASLAZIONE

• quando le comp. di spost. rimangono invariate ∀ punto P, ρ e Ω

Corpo B RIGIDO

Si dice RIGIDO se è capace di spostamento o deformazioni RIGIDI (formula scritta prima) per deformaz. rigida

In natura non esistono corpi rigidi

• Supponiamo che il nostro corpo rigido abbia generica forma, ad esempio cilindrica

B RIGIDO

• Fissiamo sist. interno cartesiano ortonorm. Ci serve per stud. la cinematica di questo corpo nello spazio
• Abbiamo anche fissato un sistema di riferm. solidale al corpo B e ies

• Nello spazio il nostro corpo ha 6 G.D.L, ovvero 6 DOF (gradi di libertà)

La posiz. del corpo è individuato fissate le coordinate xp, yp, zp e i 3 angoli di Euler φ₁, φ₂, φ₃

• esprim. le incidenze rispetto agli assi di un sist. di riferm. di una terra direzione e₁ e e₂ solidale al corpo B

6 Parametru dei: Coordinate Lagrangiane B

Formula Fondam. della Cinematica Rigida Infintesimale

nell'ipotese di spost. uguale infiniteni

||μ(p)|| ≪ 1 ∀ p ∈ Ω

||∇μ(p)|| ≪ 1

Per ottenere queste formula↳ Riaccuadramo Espressionedell'atto di corpo rigido

υ(p) = υ(q) + ψ ∧ (p - q)

ossare:

dυ(p) / dt = dυ(q) / dt + ψ ∧ (p - q)

Moltip. d'ambo i membri per dt:

dυ(p) = dυ(q) + ψ dt ∧ (p - q)

ψ dt =