Parte 1, Geometria analitica e algebra lineare

Geometria Analitica e Algebra Lineare

teoria preliminare da scaricare

• libro
• castello pergamena

prove scritte (fine semestre, prima settimana di Lezioni)

voti positivi (endereco nello scritto)

esemplificare

• studio autonomia
• libri
• spazio cattivo

Insieristica

• Quantificatori
  • ∀ per ogni
  • ∃ esiste
  • ∈ appartiene

A = elemento A: insieme

Ø insieme vuoto

A ⊂ B

B = insieme contenuto c

A ⊂ B ^{∀ a∈A a∈B}

A ⊃ B ^{∀ b∈B b∈A}

A = B A⊂B , B⊂A definizione di = per gli insiemi

per esempio

• ℕ numeri naturali
• ℤ interi
• ℚ razionali
• ℝ reali

A = {a₁, a₂, ..., a_n}

A = {x | P(x)} dove P(x) e una proprieta che lo definisce

esempio {x∈ ℕ | 2 divide x}

Geometria Analitica e Algebra lineare

• Perugina preliminare da scaricare
• Libri (catullo pezzacotta)

prove scritte (fine semestre)

voto positivo (andare allo scritto)

compiti strutture prima settimana

Insieristica

Quantificatori

∀ per ogni

∃ esiste

∈ appartiene

• a = elemento, A = insieme
• ∅ insieme vuoto
• ⊆ C B insieme contenuto C

• A C B ∀a ∈ A a ∈ B
• A C B ∀b ∈ B b ∈ A
• A = B A C B B C A
• definizione di ' ' per gli insiemi

per esempio:

• ℕ numeri naturali
• ℤ interi
• ℚ razionali
• ℝ reali

• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

A = {a₁, a₂, ..., a_n}

A = {x | P(x)}

dove P(x) è una proprietà che li definisce

esempio: x ∈ ℕ | 2 divide x

A, B insiemi

A ∪ B = {a ∈ A . a ∈ B} unione

A ∩ B = {x | x ∈ A . x ∈ B} intersezione

A - B = {x | x ∈ A . x ∉ B} differenza

A × B = {(a,b) | a ∈ A . b ∈ B} coppie ordinate

{⟨(1,3)), ⟨(3,-1))} l'ordine è importante

Funzioni o applicazioni ∀a ∈ A ∃b ∈ B: | b=(a)

Def:

Una applicazione è una forma di oggetti

f: A → B dove A e B sono insiemi e f è una

legge che assegna ad ogni elemento di A uno e un

solo elemento. f(x) ∈ B

A   ∈ ⇒ Dominio

B   ∈ ⇒ Condominio

id_A: A → A ∀x ∈ A . id_A(x)=x applicazione identica identità

Se f: A → B

Im f = {y ∈ B | ∃x ∈ A tale che f(x)=y} elementi di B che tramite applicazione provenga da A

immagine=Im f={Im}

f: ℕ → ℕ

x → 2x

Im f ⇒ {pari} ⊆ ℕ contenuto propriamente

W ⊆ A

f(W): {y ∈ B | ∃x ∈ W c.t. f(x)=y}

Potremmo dire che y ha almeno un

elemento &Largetest; x ∈ W

Im f &= Im f(A)

Restrizione di applicazioni

f: A → B

W ⊂ A

f_|w restrizione di f a W

f_|w: W → B ∀x ∈ W (f_|w)(x) = def f(x)

Implica definisco restrizione di funzione A → B

** Im (f_|w) = f_im

I.e.

Z ⊂ B

f^-1(Z) = {x ∈ A | f(x) ∈ Z}

Deve esistere in A_u x la cui immagine ∈ Z

Il codominio corrisponde con l'immagine, ovvero ad ogni elemento di B è associato almeno un elemento di A

Applicazioni suriettive

Def: f: A → B si dice suriettive (suriettiva) se Im f = B (ie) Im f ⊆ B e B ⊆ Im f

∀y ∈ B ∃ x ∈ A t.c. f(x) = y equivadamente

Def: f: A → B si dice iniettiva

∀x y ∈ A x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

Dimostrazione per assurdo

x = y ⇒ implica stabile ipotesi di partenza

(Ipotesi che non segue da funzione che assume f: A → B, implica falsa giustificazione)

Applicazioni Biettive, che sono sia iniettive che suriettive

Def: f si dice bieittiva se e solo se iniettiva e suriettiva

∀b ∈ B ∃! a ∈ A (il ruolo di dominio e codominio)

P_(•)(b) = f(a)_(•)

Se f: A → B è biettiva

f: B → A ∀ y ∈ B f^-1(y) = x t.c. f(x) = y

Se è solo biettiva l'unico α ∈ A t.c. f(A) = y