Numeri complessi

1. Introduzione ai Numeri Complessi

1.1 Definizione

2 ≡ × ≡ {(a, ∈

Sia b) : a, b

R R R R}.

2 ·)

Teorema 1.1 L’insieme (R , + è un campo con le seguenti operazioni:

· · −

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)

Dim. Basta verificare la definizione di campo.

Definizione 1.1 Il campo di cui al teorema precedente si chiamerà il campo complesso e sarà

denotato con C.

Teorema 1.2 L’insieme è isomorfo a

C R.

0 →

Dim. Si verifica facilmente che l’applicazione ϕ : è un isomorfismo.

C R

0

Definizione 1.2 Dato un numero complesso z = (a, b) poniamo (0, 1) = i, (1, 0) = 1 e otteniamo

−

z = a + ib, dove a si chiama parte reale e b si chiama parte immaginaria. Il numero z̄ = a ib si

dice coniugato di z. ∈

Teorema 1.3 Per ogni z si ha:

C

1 1

¯

· ·

− z + z = z̄ + z̄ , z z = z̄ z̄ , z̄ = z, =

z + z̄ = 2a, z z̄ = 2ib 1 2 1 2 1 2 1 2 z z̄

√

∈ |z| · |z|

Definizione 1.3 Dato z poniamo = z z̄. Il numero si dice modulo del numero

C

complesso z.

Teorema 1.4 Si ha:

|z| ≥ ∀z ∈ |z|

1. 0, e = 0 se e solo se z = 0;

C

|Rez|, |Imz| ≤ |z| ≤ |Rez| |Imz|, ∀z ∈

2. + C;

|z̄| |z| ∀z ∈

3. = C; G.Di Fazio

|z · | |z | · |z |, ∀z ∈

4. z = C;

1 2 1 2

1 1 ∀z ∈

5. = , C;

|z|

z

|z | ≤ |z | |z |, ∀z ∈

6. + z + , z C;

1 2 1 2 1 2

||z | − |z || ≤ |z ± |, ∀z ∈

7. z , z C;

1 2 1 2 1 2

−x ∈ ≤ |x|

8. x, allora x

R

|x| ≤ −a ≤ ≤ ∀a, ∈

9. a, x a, x R.

I numeri complessi possono essere scritti utilizzando le cosiddette forma trigonometrica e forma

esponenziale. Precisamente indichiamo con θ l’angolo (con segno) formato dalla congiungente il

numero z con 0 e la semiretta asse reale positivo. Si ha: iθ

|z| |z| |z| ≡ |z|e

z = cos θ + sen θi = (cos θ + i sen θ) .

iθ iθ i(θ +θ )

|z |e |z |e · |z · |e

Osservazione 1.1 Siano dati z = .

, z = . Allora z z = z

1 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1 2

Dall’ osservazione precedente segue subito la Formula di De Moivre

iθ n n inθ

|z|e |z|

Teorema 1.5 (formula di De Moivre) Se z = allora z = e .

Dim. Affrontiamo adesso il problema della estrazione di radice n-esima nel campo complesso.

iϕ iθ n

≡

Sia dato ω re . Dobbiamo cercare - eventuali numeri z =