Riassunto esame Microeconomia, prof. Ferrante, libro consigliato Corso di Economia Politica, Scapparone (vol. 1, 2)

A A A A B B B B

Equazioni di comportamento delle imprese

Si scrivono ora le equazioni di comportamento delle imprese. Supponendo che le quantità di fattori di

produzione che entrambe le imprese decidono di impiegare siano positive, allora si avrà che:

∗PM =w ∗PM =r ∗PM =w ∗PM =r

p p p p

e per F, e e per G

X X , L X X , K Y Y , L Y Y , K

Poi, dato che le funzioni di produzione F e G delle due imprese hanno rendimenti scala costanti per ipotesi

semplificativa, allora il massimo profitto dovrà essere uguale a zero (lezione 26):

∗X =w∗L +r∗K ∗Y =w∗L +r∗K

p p

per F, e p per G

X X X Y Y Y

Equazioni di equilibrio

Le equazioni di equilibrio in un modello di economia dove è inclusa la produzione sono un caso particolare

dell'uguaglianza fondamentale di equilibrio economico generale, e dicono semplicemente che la domanda e

l'offerta dei due beni e dei due fattori devono uguagliarsi:

+ = +Y =Y

X X X Y per i beni

A B A B

+ =L +L + = +K

L L K K K per i fattori

X Y A B X Y A B

Concludendo avremo:

• 8 equazioni di comportamento dei consumatori: 2 vincoli di bilancio, 2 UMP, 4 per le offerte dei f.p.

• 6 equazioni di comportamento delle imprese: 4 produttività marginale in valore, 2 profitti

• 4 equazioni di equilibrio: 2 per i beni, 2 per i fattori

Ottenendo un sistema di 18 equazioni simultanee a 18 incognite cercate.

Equilibrio economico generale e SMS

Anche in questo caso la situazione di equilibrio economico generale porta alla seguente uguaglianza:

p

A X B

= =SMS

SMS le curve di indifferenza, nei punti di ottimo, devono avere la stessa pendenza

X , Y X ,Y

p Y

Alla quale si può aggiungere, essendo un modello che include la produzione, l'uguaglianza dei SMS per i fattori:

w

X Y

= =SMS

SMS L , K L , K

r

Efficienza tecnica

Con una procedura analoga a quella usata nella lezione precedente, si può costruire una scatola di Edgeworth

per la produzione, dove come sempre ogni punto rappresenta una possibile allocazione dei fattori esistenti nel

sistema economico tra le due imprese. All'interno della scatola di Edgeworth si tracciano gli isoquanti di

produzione relativi alle due imprese.

Si può dare ora una prima nozione di efficienza relativa alle attività produttive: si definirà infatti che una

( )

L , K , L , K

qualsiasi allocazione dei fattori tra le due imprese è tecnicamente efficiente, oppure

X X Y Y

costituisce un ottimo paretiano della produzione, se e solo se non esiste un'altra allocazione

( )

L ' , K ' , L ' , K ' tale che la produzione sia maggiore, ovvero:

X X Y Y ( )>F (L ) ∧ )>G ( )

F L , K ' , K ' G(L , K L ' , K ' ,∀ L , K

OTTIMO PARETIANO X X X X Y Y Y Y

Graficamente questo nella scatola di Edgeworth si verifica in un allocazione che coincide con un punto di

tangenza fra due isoquanti, tale da non poter aumentare entrambi i livelli di produzione. L'insieme di tutte le

allocazioni tecnicamente efficienti prende il nome di curve dei contratti.

Come detto, si dimostra che gli isoquanti di produzione sono tangenti nell'ottimo paretiano, ovvero:

X Y

=SMS

SMS L , K L , K

Funzione di trasformazione

Si indica con T l'insieme delle coppie (X,Y) dei livelli di produzione che possono essere ottenuti dalle differenti

allocazioni dei fattori comprese nella scatola di Edgeworth. Per la continuità della funzioni di produzione, si

dimostra che l'insieme T è chiuso e limitato. La sua frontiera indica le coppie di livelli di produzione X e Y

tecnicamente efficienti, e si chiamerà funzione di trasformazione dei prodotti (o curva delle possibilità

produttive).

Considerata come una funzione di Y rispetto a X, la funzione di trasformazione è per definizione non crescente.

Se in un tatto fosse crescente, sarebbe possibile aumentare contemporaneamente entrambi i livelli di produzione

con una redistribuzione dei fattori, contraddicendo l'efficienza tecnica. Essendo le funzioni di produzione

continue e strettamente monotone, si dimostra in particolare la decrescenza stretta.

In sostanza allora la funzione di allocazione afferma che da un'allocazione ottimo paretiano, se si vuole

accrescere la produzione di uno dei due beni, si deve ridurre la produzione dell'altro.

Saggio marginale di trasformazione

Partendo da una coppia (X,Y) appartenente alla funzione di trasformazione, si immagina di variare la quantità di

( +∆ +∆ )

X X , Y Y appartenente alla curva di trasformazione. Costruito

X prodotto, e si individua la coppia

il rapporto incrementale, e fatto il limite per l'incremento di X tendente a zero, si definisce il saggio marginale

di trasformazione tra il bene X e il bene Y: dY

=

SMT

SAGGIO MARGINALE DI TRASFORMAZIONE X , Y dX

Valore della produzione nei punti di equilibrio

Si dimostra ora un'importante proposizione che sarà utile in seguito. Indicando i prezzi p* e p* come i prezzi

X Y

di equilibrio, e le quantità X* e Y* come quantità di equilibrio, si dimostra che queste ultime massimizzano il

valore complessivo della produzione all'interno dell'insieme T, ovvero:

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

∗X + ∗Y ≥ ∗ + ∗Y

p p p X p

X Y X Y

La dimostrazione è la seguente. Supponendo che esista una coppia di livelli di produzione (X,Y) il cui valore è

superiore, per produrla si sono utilizzati gli stessi fattori distribuiti diversamente. Segue allora che i costi

complessivi per le imprese sono gli stessi. I profitti delle due imprese dovrebbero allora essere aumentati

rispetto alla situazione di equilibrio, ma questo contraddice l'ipotesi che in equilibrio entrambe le imprese

massimizzano già il profitto

Da questo teorema derivano due corollari. Il primo afferma che se i prezzi di equilibrio sono positivi, la coppia

di equilibrio appartiene alla funzione di trasformazione e quindi l'allocazione di equilibrio dei fattori è

tecnicamente efficiente. Se ci fosse una coppia almeno una componente maggiore, la sua produzione dovrebbe

avere più valore, contro ciò che si è dimostrato.

Il risultato di grande importanza è: un sistema economico in concorrenza perfetta realizza sempre in equilibrio

un'efficiente allocazione delle risorse produttive tra i diversi rami della produzione.

Il secondo corollario afferma che se le quantità di entrambi i prodotti sono positive, ci sarà tangenza nel punto

corrispondente alla coppia di equilibrio tra la funzione di trasformazione e la più alta retta di isoricavo

raggiungibile. Questo implica che le pendenze delle due curve devono essere uguali in (X*,Y*), ovvero:

✳

p X

=

SMT ✳

X , Y p Y

Si deduce quindi che in una situazione di equilibrio economico generale in cui tutte le quantità prodotte e

consumate sono positive, devono valere le condizioni marginali:

A B

=SMS =SMT

SMS X ,Y X ,Y X ,Y

Ovvero i saggi marginali di sostituzione dei consumatori devono essere uguali al saggio marginale di

trasformazione dell'economia.

Si può allora dare finalmente una rappresentazione grafica dell'equilibrio economico generale modellizzato

includendo la produzione. Individuata sulla funzione di trasformazione la coppia delle quantità di beni prodotte

in equilibrio, si costruisce una scatola di Edgeworth tale che un origine sia sull'origine del grafico, e l'altra sul

vettore di equilibrio. In essa si tracia la retta di bilancio dei consumatori, dove si trova il punto di tangenza fra le

curve di indifferenza, e che ha la stessa pendenza della tangente alla funzione di trasformazione nel punto per il

vettore di equilibrio.

Lezione 38 – Il primo teorema dell'economia del benessere

Introduzione

Si dimostrerà adesso un importante risultato, il primo teorema dell'economia dell'economia del benessere.

Questo teorema asserisce che un'economia in concorrenza perfetta dà luogo ad un'efficiente allocazione delle

risorse disponibili, ovvero non è possibile migliorare le condizioni di tutti i soggetti dell'economia mediante una

redistribuzione od un diverso impiego a fini produttivi delle risorse stesse.

Si daranno prima però delle definizioni preliminari.

Ottimo paretiano del consumo

Ci serviremo del modello semplificato di equilibrio con produzione.

( )

X ,Y , X ,Y costituisce un'allocazione possibile per il

Il vettore di beni di consumo per i bue soggetti A A B B

( +Y +Y )∈T

X , X

sistema economico se e solo se dove T è insieme delle coppie (X,Y) dei livelli di

A A B B

produzione che possono essere ottenuti dalle differenti allocazioni dei fattori produttivi.

Si indicherà con A l'insieme di tutte le allocazioni possibili, e si dirà che un'allocazione possibile

( )∈A

X ,Y , X ,Y è economicamente efficiente, oppure costituisce un ottimo paretiano del consumo, se

A A B B

( )>U ( ) ( )>U ( ) ∀( )

U X , Y X ' , Y ' e U X , Y X ' , Y ' X , Y , X , Y

e solo se: A A A A A A B B B B B B A A B B

Ovvero non è possibile migliorare le condizioni di entrambi i consumatori rispetto all'allocazione, prima

redistribuendo i fattori esistenti alle due imprese produttrici, e poi redistribuendo i beni ottenuti dalle imprese tra

i due consumatori.

Si dimostra facilmente, per la stretta monotonicità delle relazioni di preferenza individuali, che un ottimo

( )∈A

X ,Y , X ,Y

paretiano del consumo è caratterizzato da una coppia di quantità prodotte

A A B B

( +Y +Y )∈T

X , X appartenente alla funzione di trasformazione.

A A B B

Se così non fosse, le quantità aggiuntive dei dei due beni potrebbero essere redistribuite aumentando le utilità

dei due consumatori, contro l'ipotesi che si trattasse di un ottimo paretiano.

Ottimi paretiani del consumo e SMS

Si dimostra, similmente a come fatto nella lezione 34 per gli ottimi paretiani della produzione, che se tutte le

( )∈A

X ,Y , X ,Y

componenti di un ottimo paretiano del consumo s ono positive, allora devono valere

A A B B

A B

=SMS =SMT

SMS

le seguenti condizioni marginali: che come si è dimostrato caratterizzano

X ,Y X ,Y X ,Y

anche le situazioni di equilibrio economico generale.

Rappresentazione grafica degli ottimi paretiani di consumo

La rappresentazione grafica dell'insieme degli ottimi paretiani per un'economia con produzione non è

immediata, poiché come sappiamo non vi è un'unica scatola di Edgeworth che individui tutte le possibili

allocazioni. Nel caso di economia di puro scamb