Matematica - studio di funzioni

STUDIO  DI  FUNZIONI  

La  FUNZIONE  è  una  legge  che  associa  ad  uno  o  più  valori  di  x  un  solo  valore  di  y.  La  x  =  variabile  

indipendente,  y  =  variabile  dipendente.    

Il  DOMINIO  è  l’insieme  dei  valori  da  dare  a  x  per  avere  y  reale.  X  Es:  Denominatore  diverso  da  0.  

Per  prima  cosa  dopo  il  dominio,  bisogna  trovare:  

-­‐  le  SIMMETRIE:  la  funzione  è  pari  quando  c’è  una  simmetria  rispetto  all’asse  y  (x  opposto,  y  uguale),  

oppure,  la  funzione  è  dispari  quando  c’è  una  simmetria  rispetto  all’asse  x  (x  uguale,  y  opposto).  

-­‐L’INTERSEZIONE  CON  L’ASSE  X  E  Y:  bisogna  mettere  a  sistema  la  funzione  con  y=0  e  x=0.  

-­‐lo  STUDIO  DEL  SEGNO:  si  considera  la  funzione  associata,  cioè  =0,  e  si  procede  in  modo  diverso  a  seconda  

delle  linee  di  livello  (ad  es.  parabola,  circonferenza..).  

∞

-­‐gli  ASINTOTI:  verticale  =  lim     f(x)  =     orizzontale  =  lim                  f(x)=  l  

∞ ∞

                                                                                       x                                    x    

 

-­‐CALCOLO  DELLA  DERIVATA  PRIMA.  

-­‐STUDIO  DEL  SEGNO  DI  F’(X).  

-­‐DERIVATA  SECONDA.  

LE  CONICHE  

PARABOLA  con  asse  di  simmetria  //  all’asse  y:

  2

y  =  ax  +  bx  +  c  

  2

-­‐VERTICE  (-­‐  b/2a  ;  -­‐  b  –  4ac/4a)  

-­‐a>0  concavità  U  ;  a<0  concavità  П  

-­‐intersezione  assi.  

  2 2

CIRCONFERENZA  (il  coefficiente  di  x  e  y  deve  essere  sempre  =):  

  2 2

x  +  y  +  ax  +  by  +  c  =  0  

-­‐CENTRO  (-­‐a/2  ;  -­‐b/2)  

2 2

-­‐Raggio  =  √  (-­‐a/2)  +  (-­‐b/2)  –  c  

Se  la  circonferenza  ha  il  centro  nell’origine  all’ora  la  sua  forma  sarà:  

2 2 2 2  

X  +  Y  =  r    il  raggio  sarà  quindi  uguale  alla  √r

PARABOLA  con  asse  di  simmetria  //  all’asse  x:  

  2

x  =  ay  +  by  +  c  

2

-­‐VERTICE  (-­‐  b  –  4ac/4a  ;  -­‐  b/2a)  

-­‐a>0  concavità                 a<0  concavità    

-­‐intersezione  assi.  

 ELLISSE  

  2 2

X  +  Y  =  1  

2 2

a        b  

(-­‐a;0)-­‐(a;0)-­‐(0;b)-­‐(0;-­‐b)  

IPERBOLE  EQUILATERA  RIFERITA  AGLI  ASINTOTI  (=  assi  cartesiani)  

y  =  k/x  

-­‐se  k>0    asintoti  nel  I°  e  III°  quadrante  



-­‐se  k<0    asintoti  nel  II°  e  IV°  quadrante  



IPERBOLE  GENERICA  

  2 2

X  –  Y  =  1  

2 2

a        b  

Eq.  asintoti:  

y  =  +-­‐  b/a  x              V1  (-­‐a;  0)  ;  V2  (  a;  0)  

RETTA  

ax  +  by  +c  =  0        FORMA  IMPLICITA  

y  =  mx  +  q                    FORMA  ESPLICITA  

Ogni  retta  del  piano  si  può  considerare  come  l’insieme  di  tutti  e  soli  punti  le  cui  coordinate  cartesiane  

soddisfano  questa  equazione  lineare.  

m  =  coefficiente  angolare  =  indica  l’inclinazione  della  retta:  

  m<0      retta  decrescente    \    angolo  con  asse  x  è  ottuso  (all’aumentare  di  x,  la  y  diminuisce)  



  m>0      retta  crescente  /  angolo  con  asse  x  acuto  (all’aumentare  di  x,  la  y  aumenta)  



  m  =  0   retta  costante  parallela  asse  x  (all’aumentare  di  x,  la  y  rimane  costante)  



q  =  ordinata  all’origine  =  punto  in  cui  interseca  l’asse  y  

DISEQUAZIONE  A  2  VARIABILI:    considerare  l’equazione  associata,  verificare  il  piano  in  cui  la  diseq  è  valida.  

-­‐si  prende  un  punto  appartenente  ad  uno  dei  due  semipiani;  

-­‐si  sostituiscono  le  coordinate  nella  disequazione  al  posto  di  x,  y;  

-­‐se  si  ottiene  una  disuguaglianza  V,  allora  il  semipiano  delle  soluzioni  è  quello  che  contiene  il  punto;  e  

viceversa.  

DISEQUAZIONE  NON  LINEARE  A  2  VARIABILI:  

-­‐si  rappresenta  il  grafico  della  relazione  f(x,y)=0  e  si  individuano  le  regioni  del  piano  da  essa  definite;  

-­‐si  considera  un  punto  in  una  delle  regioni  e  si  va  a  sostituire;  

-­‐se  si  ottiene  una  disuguaglianza  V,  la  regione  delle  soluzioni  è  quella  che  contiene  il  punto;  e  viceversa.  

SISTEMI  DI  DISEQUAZIONI:  

l’insieme  delle  soluzioni  di  questo  sistema  è  quello  dei  valori  che  soddisfano  contemporaneamente  le  2  

disequazioni  ed  è  quindi  costituito  dall’intersezione  dei  semipiani  soluzione  di  ciascuna  delle  2  disequazioni.  

FUNZIONE  DI  DUE  VARIABILI    

È  una  legge  che  associa  ad  ogni  coppia  di  valori  reali  (x,y)  uno  e  un  solo  valore  reale  di  z.  la  x  =  variabile  

indipendente,  la  y  =  variabile  indipendente  e  la  z  =  variabile  dipendente.  

DOMINIO  =  insieme  delle  coppie  di  valori  che  possono  essere  attribuiti  alla  coppia  x,y  per  avere  z  reale.  

2

                                           D  C  R  

SISTEMA  DI  RIFERIMENTO  CARTESIANO  NELLO  SPAZIO  

Preso  un  punto  O  nello  spazio,  consideriamo  tre  rette  passanti  per  O,  che  chiameremo  x,y,z,  perpendicolari  

a  due  a  due  e,  su  ognuna  di  esse,  fissiamo  un  sistema  di  ascisse.  Tali  rette  rappresentano  gli  assi  cartesiani  

nello  spazio  e  il  punto  O  è  l’origine.  Ad  ogni  punto  è  associata  una  terna  di  valori  (x,y,z),  

ascisse  =  x   ordinata  =  y   quota  =  z.  

-­‐nel  piano  xOy  con  z  =  0,  l’eq  del  piano  //  al  piano  xOy,  è  z  =  k;  

-­‐nel  piano  xOz  con  y  =  0,  l’eq  del  piano  //  al  piano  xOz,  è  y  =  k;  

-­‐nel  piano  yOz  con