Matematica - Sistemi lineari

SISTEMI  LINEARI  

Si  chiama  FORMA  LINEARE(omogenea)nelle  n  variabili  x ,x …x un  qualunque  polinomio  omogeneo  del  

1 2 n

tipo:  F=a x +a x …+a x  

1 1 2 2 n n

Si  dice  che  è  una  forma  lineare  IDENTICAMENTE  NULLA  se  qst’ultima  è  uguale  a  0  cioè  se  a =a =a =0  

1 2 n

Date  le  forme  lineari:  

si  dice  che  sono  LINEARMENTE  INDIPENDENTI    se  la  forma  lineare  λ F +λ F +…λ F è  identicamente  nulla  

1 1 2 2 n m

soltanto  per  λ =λ =λ =0.Nel  caso  contrario,le  m  forme  F ,F …F  si  dicono  LINEARMENTE  DIPENDENTI.  

1 2 m 1 2 m

Se  le  forme  sono  linearmente  dipendenti  e  se  λ ≠0  (1≤r≤m)  e  si  ha:  

r

ossia  F  risulta  una  COMBINAZIONE  LINEARE  delle  altre  m-­‐1  forme.  

Ponendo:  

si  ha:  

e  per  il  principio  d’identità  dei  polinomi  ,risulta:  

se  si  pone:  

Per  qst’ultima,gli  elementi  della  riga  r_esima  sono  conbinazioni  lineari  degli  elementi  corrispondenti  

delle  altre  righe,quindi  il  rango  della  matrice  nn  cambia  se  si  sopprime  la  riga  r-­‐esima.  

Teorema  1  

Le  m  forme  linearisono  linearmente  dipendenti  se  e  solo  se  esiste  almeno  una  riga  della  matrice  che  può  

sopprimersi  senza  che  cambi  r(A),il  quale  esprime  pertanto  il  numero  il  numero  di  forme  lineari  

linearmente  indipendenti.  

Sichiama  equazione  lineare  algebrica  nelle  n  incognite  x x  ,….x l’espressione  a x +a x +…a x =b,a b  e  R  

1, 2 n 1 1 2 2 n n i  ,

I  numeri  a  si  chiamano  COEFFICIENTI  delle  incognite  e  b  TERMINE  NOTO  dell’equazione.Se  b=0  

i

l’equazione  si  dice  OMOGENEA.  

Ogni  n-­‐upla  (x x  ,….x di  numeri  reali  tale  che:  a x +a x +…a x =b  

1, 2 n) 1 1 2 2 n n

Si  chaima  SOLUZIONE  dell’equazione.Quando  si  considerano  simultaneamente  m  equazioni  si  dice  di  

avere  un  sistema  di  m  equazioni  lineari  algebrice  in  n  incognite,e  si  indica:  

Il  sistema  si  può  scrivere  in  forma  compatta:Ax=b  

Le  matrici  A  e  B  si  chiamano  rispettivamente  MATRICE  INCOMPLETA  E  MATRICE  COMPLETA  del  sistema.  

Il  sistema  s