Matematica per le applicazioni I - Appunti (seconda parte)

Aggiornato il 22/03/2026

di Daniele

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Parte seconda degli Appunti di Matematica per le applicazioni I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i numeri, i numeri naturali, i numeri interi e i numeri razionali, la …

Esame Matematica Per Le Applicazioni I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Boieri Paolo

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2012-2013

95 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Capitolo 1

I NUMERI.

1.1 - Numeri naturali. I primi numeri che impariamo a utilizzare, fin dall'infanzia, sono i numeri naturali. Li rappresentiamo con opportune combinazioni di dieci simboli o "cifre", 0, 1, 2, …, 9. Li usiamo per "contare" (cioè per quantificare il numero degli elementi di un insieme), per "ordinare" gli elementi di un insieme (per formare cioè delle "graduatorie"), per "calcolare" (secondo le regole dell'Aritmetica e dell'Algebra); e infine, per "misurare" o "valutare" certe grandezze (tempi, lunghezze, ecc.). I matematici denotano l'insieme di questi numeri, includendo lo zero, con N:

N = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, … ; 10, 11, … , 2314, … }.

1.2 - Numeri interi e numeri razionali. Ci si accorge però abbastanza presto che, per "calcolare" e "misurare", questi numeri non bastano: le operazioni inverse della somma e della moltiplicazione, la sottrazione e la divisione, in certi casi non possono essere eseguite (non si può sottrarre per esempio 5 da 3 o dividere 5 per 3). Ma il matematico aggira quest'impossibilità semplicemente ampliando l'insieme degli "oggetti" con cui vuole fare i calcoli, continuando a chiamarli "numeri". Questo ampliamento lo esegue in due passi successivi: (1) Introduce i numeri interi negativi, che insieme a quelli naturali, che chiama positivi (salvo lo 0), formano l'insieme più ampio dei numeri interi relativi denotato con Z (dal tedesco "Zahl", numero)

Z = insieme dei numeri interi

= {… - 2314, … ; -11, -10, … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ; 10, 11, … , 2314, … }

In quest'insieme l'operazione di sottrazione ha sempre un risultato. I numeri naturali ne costituiscono un sottinsieme:

N ⊂ Z.

(2) Introduce le frazioni di numeri interi,

q = ⁿ/_d, n, d ∈ Z_, d ≠ 0 {n = numeratored = denominatore}

con le quali può sempre eseguire la divisione, e rendere più raffinate le misure. Le frazioni rappresentano un nuovo insieme di numeri, i numeri razionali.

Q = insieme dei numeri razionali.

Capitolo 1

I numeri.

1.1 - Numeri naturali. I primi numeri che impariamo a utilizzare, fin dall' infanzia, sono i numeri naturali. Li rappresentiamo con opportune combinazioni di dieci simboli o "cifre", 0, 1, 2, . . . , 9. Li usiamo per "contare" (cioè per quantificare il numero degli elementi di un insieme), per "ordinare" gli elementi di un insieme (per formare cioè delle "graduatorie"), per "calcolare" (secondo le regole dell' Aritmetica e dell'Algebra); e infine, per "misurare" o "valutare" certe grandezze (tempi, lunghezze, ecc.). I matematici denotano l'insieme di questi numeri, includendo lo zero, con N:

N = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, . . . ; 10, 11, . . . , 2314, . . . }.

1.2 - Numeri interi e numeri razionali. Ci si accorge peró abbastanza presto che, per "calcolare" e "misurare", questi numeri non bastano: le operazioni inverse della somma e della moltiplicazione, la sottrazione e la divisione. In certi casi non possono essere eseguite (non si può sottrarre per esempio 5 da 3 o dividere 5 per 3). Ma il matematico aggira quest'impossibilità semplicemente ampliando l'insieme degli "oggetti" con cui vuole fare i calcoli, continuando a chiamarli "numeri". Questo ampliamento lo esegue in due passi successivi: (1) Introduce i numeri interi negativi, che insieme a quelli naturali, che chiama positivi (salvo lo 0), formano l'insieme più ampio dei numeri interi relativi denotato con Z (dal tedesco "Zahl", numero)

Z = insieme dei numeri interi= {. . . - 2314, . . . , -11. . . -10, . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . ; 10, 11, . . . , 2314, . . . }

In quest'insieme l'operazione di sottrazione ha sempre un risultato. I numeri naturali ne costituiscono un sottinsieme:

N ⊂ Z.

(2) Introduce le frazioni di numeri interi,

q = ⁿ/_d, n, d ∈ Z, d ≠ 0 ⁿ = numeratore_d = denominatore

con le quali puó sempre eseguire la divisione, e rendere più raffinate le misure. Le frazioni rappresentano un nuovo insieme di numeri, i numeri razionali.

Q = insieme dei numeri razionali.

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

Sulla relazione frazione ↔ numero razionale occorre fare tre osservazioni importanti:

(i) due frazioni distinte rappresentano lo stesso numero razionale (si dice allora che le frazioni sono "equivalenti") quando si ottengono l’una dall’altra moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per uno stesso numero intero. P.es.

rappresentano lo stesso numero razionale. (ii) Fra tutte le frazioni equivalenti ad una data frazione ne esi

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