Matematica per l'economia - le funzioni circolari inverse

Funzioni circolari inverse

Def. Sia ϕ : Dϕ → IR una qualunque delle funzioni sen, cos, tg, cotg; si chiama "regione fondamentale per ϕ" ogni A ⊂ Dϕ t.c.

1. ϕ|A è iniettiva;
2. ϕ(A) = ϕ(Dϕ), i.e., codominio di ϕ|A = codominio di ϕ.

a) ϕ(x) = sen x, A = [-π/2, π/2]

sen |A : A → [-1,1] è bigettiva ⊥⊥⇒ La funzione inversa arc sen : [-1,1] → [-π/2, π/2]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arc sen y = l’unico x ∈ [-π/2, π/2] t.c. sen x = y.

Funzioni circolari inverse

Def. Sia f : D_f → IR una qualunque delle funzioni sen, cos, tg, cotg; si chiama "regione fondamentale per f" ogni A ⊂ D_f t.c.

1. f |_A è iniettiva;
2. f (A) = f (D_f), i.e., codominio di f|_A = codominio di f.

1. f(x)=sen x, A=[-π/2, π/2]

sen|_A : A → [-1,1] è bigettiva. La funzione inversa arcsen : [-1,1] → [-π/2, π/2]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arcsen y = l'unico x ∈ [-π/2, π/2] t.c. senx = y;

b) f(x) = cos x, A = [0, π]

cos|_A : A → [-1,1] è bigettiva. La funzione inversa arccos : [-1,1] → [0,π]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arccos y = l'unico x ∈ [0, π] t.c. cos x = y;

c) f(x) = tg x, A = ]-π/2, π/2[

tg|_A : A → IR è bigettiva. La funzione inversa arctg : IR → ]-π/2, π/2[

ove ∀y ∈ IR : arctg y = l'unico x ∈ ]-π/2, π/2[ t.c. tg x = y;

d) f(x) = cotg x, A = ]0, π[

cotg|_A : A → IR è bigettiva. La funzione inversa arccotg : IR → ]0, π[

ove ∀y ∈ IR : arccotg y = l'unico x ∈ ]0, π[ t.c. cotg x = y.

Osservazioni

Nei testi in inglese si trova sen^-1x, cos^-1x, tg^-1x in accordo con f^-1, usata per denotare la funzione inversa di f.

In tutti i casi la regione fondamentale A è vicina (o contiene) 0 per ragioni che vedremo in seguito.

Dai valori noti di sen x, cos x, tg x, cotg x segue che

• arcsen(-1) = -π/2,     arccos(-1) = π,     arccotg(1) = π/4
• arcsen(0) = 0,     arccos(0) = π/2,     arctg(0) = 0
• arcsen(1) = π/2,     arccos(1) = 0
• arccotg(0) = π/2, arctg(1) = arccotg(1) = π/4
• arcsen(√2/2) = arccos(√2/2) = π/4

Si ha anche

• arcsen(sen x) = x     ∀ x ∈ [-π/2, π/2]
• sen(arcsen y) = y     ∀ y ∈ [-1,1]

e simili. Si noti che arcsen(sen x) ≠ x     se x ∉ [-π/2, π/2] !!

Esempio

sen ^3π⁄₄ = sen (π⁄₂ + π⁄₄) = cos π⁄₄ = √2⁄2 ma arcsen (sen ^3π⁄₄) = arcsen √2⁄2 = π⁄₄ !!

Proprietà

1. arcsen ed arctg sono strettamente crescenti e dispari (al pari di sen e di tg nell'intervallo [-π/2, π/2] di cui sono le inverse);
2. arccos ed arccotg sono strettamente decrescenti (al pari di cos e di cotg nell'intervallo [0, π] e [0, π]);
3. arcsen ([-1, 1]) = [-π/2, π/2], arccos ([-1, 1]) = [0, π],

arctg (ℝ) = ] -π/2, π/2 [, arcctg (ℝ) = ] 0, π [, e dunque arcsen, arccos, arctg, arcctg sono continue (cfr. cont. funz. mon.).

Teoremi

Dal teorema sul limite delle funzioni monotone segue che:

• ∃ lim arctg x = inf ]-π/2, π/2 [ = -π/2 ; x → -∞
• ∃ lim arctg x = sup ]-π/2, π/2 [ = π/2 x → +∞
• ∃ lim arcctg x = sup ]0, π [ = π ; x → 0⁻
• ∃ lim arcctg x = inf ]0, π [ = 0 .x → 0⁺

4) Si provencé che arcsen x + arccos x = π/2 ∀ x ∈ [ -1, 1 ] arctg x + arcctg x = π/2 ∀ x ∈ ℝ

f(x) = arcsen x (limitata con min. valore -π/2 e max. valore +π/2)

f(x) = arccos x (limitata con min. valore 0 e max. valore π)

∀x ∈ [-1, 1] :

• arcsen(-x) = -arcsen x
• arccos(-x) = π - arccos x (spiegare)