Matematica - le equazioni di secondo grado

Introduzione alle equazioni di secondo grado

Facile, leggile sul libro e riguarda gli appunti, ti do un link. Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioè c'è un termine con x². A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in vari tipi.

Si supponga di dover trovare quel numero il cui quadrato sommato al suo doppio sia uguale a 63. Indicato con x il numero cercato, il problema ci conduce a trovare la radice dell'equazione x² + 2x = 63. Poiché l'incognita compare con esponente massimo uguale a 2, si tratta di risolvere un'equazione di secondo grado. Applicando le proprietà delle equazioni è sempre possibile ricondurre un'equazione di secondo grado nella cosiddetta forma normale Ax² + Bx + C = 0.

Casi particolari di equazioni di secondo grado

Poiché il termine di secondo grado deve essere presente, A non può annullarsi, quindi possono presentarsi i seguenti casi distinti:

• B = 0 e C = 0: Equazione monomia
• C = 0: Equazione spuria
• B = 0: Equazione pura

Equazione monomia

L'equazione ha la forma Ax² = 0. Pertanto, x² = 0/A cioè x = 0. Di conseguenza, un'equazione monomia ha una radice nulla.

Equazione spuria

L'equazione ha la forma Ax² + Bx = 0. Posto x in evidenza si ottiene x(Ax + B) = 0. Essendo un prodotto uguale a zero, allora, per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è zero, cioè si ha x = 0 o Ax + B = 0. Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cui una ha soluzione nulla. L'altra soluzione è x = -B/A. In questo caso abbiamo un'equazione con due soluzioni sicuramente distinte.

Equazione pura

L'equazione ha la forma Ax² + C = 0. L'equazione si può scrivere nella forma Ax² = -C. Pertanto x² = -C/A. Il primo membro è positivo poiché è un quadrato, allora deve esserlo anche il secondo membro. Se A e C sono concordi, il secondo membro è negativo in quanto la frazione è preceduta dal segno meno, di conseguenza non si hanno radici reali essendo il primo membro positivo. Se invece A e C sono discordi, si hanno due radici reali opposte che si ottengono.

Se C = 0, si può porre in evidenza e si ottiene x(Ax + B) = 0. Essendo un prodotto uguale a zero, allora, per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è zero, cioè si ha x = 0 o Ax + B = 0. Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cui una ha soluzione nulla. L'altra soluzione è x = -B/A. In questo caso abbiamo una equazione con due soluzioni sicure.