Matematica di base - sistemi lineari e teoremi

Sistemi lineari

Forma lineare

Si chiama forma lineare (omogenea) nelle n variabili x₁, x₂, …, x_n un qualunque polinomio omogeneo del tipo:

F = a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n

Si dice che è una forma lineare identicamente nulla se quest’ultima è uguale a 0, cioè se a₁ = a₂ = … = a_n = 0.

Indipendenza lineare

Date le forme lineari: si dice che sono linearmente indipendenti se la forma lineare λ₁F₁ + λ₂F₂ + … + λ_mF_m è identicamente nulla soltanto per λ₁ = λ₂ = … = λ_m = 0. Nel caso contrario, le m forme F₁, F₂, …, F_m si dicono linearmente dipendenti.

Se le forme sono linearmente dipendenti e se λ_r ≠ 0 (1 ≤ r ≤ m), si ha che F_r risulta una combinazione lineare delle altre m-1 forme. Ponendo:

si ha:

e per il principio d’identità dei polinomi, risulta:

se si pone:

Per quest’ultima, gli elementi della riga r-esima sono combinazioni lineari degli elementi corrispondenti delle altre righe, quindi il rango della matrice non cambia se si sopprime la riga r-esima.

Teorema 1

Le m forme lineari sono linearmente dipendenti se e solo se esiste almeno una riga della matrice che può sopprimersi senza che cambi r(A), il quale esprime pertanto il numero di forme lineari linearmente indipendenti.

Equazione lineare algebrica

Si chiama equazione lineare algebrica nelle n incognite x₁, x₂, …, x_n l’espressione:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b, con a_i, b ∈ ℝ.

I numeri a_i si chiamano coefficienti delle incognite e b termine noto dell’equazione. Se b=0, l’equazione si dice omogenea.

Ogni n-upla (x₁, x₂, …, x_n) di numeri reali tale che:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b

si chiama soluzione dell’equazione.

Sistema di equazioni lineari

Quando si considerano simultaneamente m equazioni, si dice di avere un sistema di m equazioni lineari algebriche in n incognite, e si indica:

Il sistema si può scrivere in forma compatta: Ax = b

Le matrici A e B si chiamano rispettivamente matrice incompleta e matrice completa del sistema. Il sistema si dice omogeneo se tutte le equazioni sono omogenee; non omogeneo se almeno una delle sue equazioni è non omogenea.

Ogni n-upla (x₁, x₂, …, x_n) di numeri reali che soddisfa tutte le equazioni del sistema si dice soluzione del sistema.

Possibilità del sistema

• Un sistema si dice possibile se ammette soluzioni.
• Precisamente determinato se ne ammette una sola.
• Indeterminato se ne ammette infinite.
• Si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.

Due sistemi lineari si dicono equivalenti se ogni soluzione del primo è soluzione del secondo e viceversa, oppure se entrambi non hanno soluzioni.

Teorema 2

I sistemi Ax = b e P(A)x = P(b) sono equivalenti. Infatti,

Ax = b → m(i,j) m(i,j) m(i,j)