Matematica

Appunti del corso di Analisi Matematica I del professor Cianciaruso, riguardanti il corso di Informatica, Unical, con esercizi svolti presi dal libro P.Marcellini e C.Sbordone "Analisi Matematica I" (LIGUORI EDITORE).
Università degli studi di Calabria, facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali.

Esame Analisi matematica I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Cianciaruso Gabriele

Università Università della Calabria

Publisher ArmandoLebron

A.A. 2013-2014

175 pagine

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Programma

I numeri e le funzioni reali:
- Limiti e successioni
- Limiti di funzioni
- Derivate
- Teoremi del calcolo differenziale

Il sistema dei numeri reali

Assiomi Dei Numeri Reali

Le operazioni che si possono fare sono:

+,-,÷ (divisore ≠ 0)
a + b = b + a ^{∀a,b ∈ R} (Commutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ^{∀a,b,c ∈ R} (Associativa)
a + 0 = 0 + a = a ^{∀a ∈ R} (Elem. neutro)
a + (-a) = 0 ^{∀a ∈ R} (Esistenza dell'opposto)
a ⋅ b = b ⋅ a ^{∀a,b ∈ R} (Commutativa)
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ^{∀a,b,c ∈ R} (Associativa)
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a ^{∀a ∈ R, 1 elem. neutro of '⋅'}
a ⋅ (1/a) = 1 (Non dividere per 0!) ^{∀a ∈ R}
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c ^{∀a,b,c ∈ R} Proprietà distributiva che lega addizione e moltiplicazione (Distributiva)

Assiomi Relativi All'ordinamento

a ≤ b

Dicotomia ^{∀a,b ∈ R a ≤ b oppure b ≤ a}
Asimmetrica ^{a ≤ b e b ≤ a ⇒ a=b}
a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
∀a,b,c ∈ R se a ≤ b, a ≤ b + c e 0 ≤ c, a ≤ b

Proprieta transitiva: se a ƒ(x) ∈ B => ƒ⁻¹(ƒ(x)) = x

y ∈ B => ƒ⁻¹(y) ∈ A => ƒ(ƒ⁻¹(y)) = y

Identità di cancellazione

∀ x ∈ A ƒ⁻¹(ƒ(x)) = x

∀ y ∈ B ƒ(ƒ⁻¹(y)) = y

ƒ: A → B

g : C → D

ƒ o g; g o ƒ = ?

(ƒ o g) (x) = ƒ(g(x))

È possibile fare ƒ⁻¹ o g⁻¹ => D ⊆ A

1)_R

f(x) = sqrt|x|

|x| ≥ 0 ∀x ε _R

Esercizi pag 48 n.^o 12

a)

f^-1(x) = 4 - x

f : _R → [0,+∞)_R

∀ y ε [ 0,+∞[ _R f^-1 (x) = y?

y ≥ 0, 4 - x = y

-x = y - 4

x = 4 - y^-1

x = 4 - y^-1^-1

b)

f^-1 (x) = x² - 3x + 4

f: _R → [0,+∞)_R

y ≥ 0 sqrtx²-3x + 4 = y

x²-3x + 4 - y² = 0

Δ = 9 - 4(4 - y²) = 9 + 4 y² - 16 + 4 y² - 7

Δ ≥ 0 → 4 y² - 7 ≥ 0 → y ≤ sqrt7/2 ѳ y ≤ sqrt7/2

Δ = 0 y = sqrt7/2 ѳ y ≤ sqrt7/2

Δ ≤ 0 non invertibile.

3)

f (x) = 1 - x - 1

f : Δ → R

∀ y ε R ∃ x ε Δ: f(x) = y?

1 ⁄ x^-1 - 1 = y

x < 1 e x > 3 ]-∞,1[∪]3,+∞[

Per caso fare la b, d, e

c) (1/2)^x² ⇔ x2 < 1 (1/2)x è strettamente decrescente

x2 - 1 < 0

]-1,1[

d) (1/3)^x² >0 ∀x∈ℜ

a^x² >0 (ax è strettamente maggiore di 0 per ogni a ≠ 1, ∀x ∈ ℜ)

1.24 (fare per casa quelle non fatte a lezione)

log₂ 1 = 0 log₂7,3 = 3

log₈ 4 = log₈ 2_3/2 ➔ cambio di base (al denominatore la base originare diventa l'argomento)

log 1 = 0

1.29

a) log _e^x⁰⁰<x<1 x > 0

b) lg _e

d) log x ∈ a ^{lg_{a_{x ∈ e}}}

^{e^e}

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