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T 2) A = 2 1 7 A = 1 1 4 − − − 4 4 3 5 7 3
Definizione 1.6. × T
Una matrice A di ordine m n si dice simmetrica se A = A .
ESEMPIO
1 2 3
−
A =
2 1 2
−
3 2 4
Definizione 1.7.
Una matrice quadrata del tipo ( ) 1 se i = jδδ con per i, j = 1, 2, ..., n=I = ≠ijn ij 0 se i jsi chiama matrice identica o unitaria di ordine n. In altre parole una matrice identica è una matricediagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali ad uno.
ESEMPIO
1 0 0
è la matrice identità di ordine 3 (diagonale con gli elementi unitari)
I = 0 1 0
0 0 1
Definizione 1.8.> > ×aSiano m 1 ed n 1. Fissato un elemento qualsiasi della matrice A di ordine m n si definisce minoreij − × −acomplementare di e lo si indica con A la matrice, di ordine (m 1)
(n 1), che si ottiene da Aij ijescludendo tutti gli elementi della riga i-esima e della colonna j-esima.
ESEMPI − 1 0 2 0 2⇒ 1) è il minore complementare diA = 3 1 5 A = a− 21 21 4 3− 7 4 3− 1 0 2 7 0 2 7⇒ 2) è il minore complementare diA = 3 1 5 1 A = a− 21 21 4 3 0− 7 4 3 02. DETERMINANTIScopo di questo paragrafo è di introdurre un numero associato ad una matrice quadrata A che si chiamadeterminante di A e si denota con det A oppure con | A |. Siffatto numero riveste notevole interesse inmolti argomenti ed è essenziale, quindi, imparare il suo calcolo.Sia A una matrice quadrata di ordine n.
Definizione 2.1. a aSe n = 1, cioè A = ( ), allora il numero si chiama determinante di A e si scrive11 11 =a adet A = 11 1122ESEMPI ⇒ 1) A = (2) det A = 2 = 2⇒ 2) A = (5) det A = 5 =
Definizione 2.2.
Se n = 2, cioè A =
| a | a |
| 21 | 22 |
det A =
| a | a |
| 21 | 22 |
ESEMPI
1) A =
| 1 | 1 |
| 3 | 1 |
2) A =
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
3) A =
| 1 | 2 |
| 3 | 2 |
4) A =
| 4 | 1 |
| 3 | 1 |
Definizione 2.3.
Se n = 3, cioè si pone per definizione:
A =
| a | a | a |
| 21 | 22 | 23 |
| 31 | 32 | 33 |
| a | a | a |
| 11 | 12 | 13 |
| 21 | 22 | 23 |
| 31 | 32 | 33 |
32 12 21 3321 22 23a a a31 32 33 23
Un metodo pratico che consente di calcolare solo il determinante di una matrice del terzo ordine è fornito dalla seguente regola di Sarrus: data una matrice A di ordine tre si consideri la tabella ottenuta da A aggiungendo ad essa, a destra, nell'ordine, le sue prime due colonne, cioè
a a a a11 12 13 11 12
a a a a a21 22 23 21 22
a a a a a31 32 33 31 32
Si ottiene il determinante di A eseguendo la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali principali,
{ } { } { }a , a , a , a , a , a , a , a , a ,
e sottraendo ad essa la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali secondarie,
{ } { } { }a , a , a , a , a , a , a , a , a
31 22 13 32 23 11 33 21 12
ESEMPI
1 3 5
1) Data la matrice A = , applicando la regola di Sarrus, si ha la seguente tabella
2 7 4
6 8 3
mnemonica: 1 3 5 1 3
2 7 4 2 7
6 8 3 6 8
da cui segue che ( )⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −det A =
1 7 3
3 4 6
5 2 8
6 7 5
8 4 1
3 2 3
= (21 + 72 + 80) (210 + 32 + 18) =−87=
3 1 2
3 1 2
3 1 2
⇒− − − − − − + + −
2) A = det A =
2 0 5
2 0 5
2 0 5
= 0 15 16
( 0 60 0 ) = 91
− − −
3 4 0
3 4 0
3 4
Osservazione: le definizioni precedenti forniscono anche metodi pratici per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine n = 1, 2, 3. Analizziamo adesso, invece, un criterio generale che ci≥ consenta di calcolare il determinante di una matrice quadrata A di ordine qualsiasi n ≥ 2.
Premettiamo, a tal proposito, la seguente
Definizione 2.4. ×
Data una matrice A di ordine m n, si definisce minore di ordine m−i, estratto da A, il determinante ottenuto dalla matrice sopprimendo i righe e j colonne in modo che sia m−i = n−j.
24
Ne segue che ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo- Se A =
allora i minori di ordine tre estraibili da A sono:1 2 1 2 4 1 1 2 3 1 2 1 2 4 1 1 2 3 - Se A =
allora i minori di ordine tre estraibili da A sono:2 1 3 1 1 3 1 2 1 2 1 3 1 1 3 1 2 1
- − − − − − 1 3 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3
- mentre alcuni minori di ordine due estraibili da A sono, per esempio:
- − − − − − 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 4 6
- − − − − − − − − − 4 2 4 6 1 3 1 3 1 3 1 3
- e così via.
- Definizione 2.5. ≥aSia un elemento qualsiasi di una matrice quadrata A di ordine n 2. Si chiama complemento algebricoija A adi , e si indica con , il determinante del minore complementare di preso con il segno positivo oij ij ijnegativo a seconda che la somma i + j sia rispettivamente pari o dispari.
- ESEMPI 1 3 1) Se A = allora: 2 4( ) +− 1 1A = 1 4 = 4 è il complemento algebrico di a = 111 11( ) +− −2 1A = 1 3 = 3 è il complemento algebrico di a = 221 21e
qualsiasi dellamatrice per i rispettivi complementi algebrici.Dalla precedente definizione può sorgere il dubbio che il calcolo di un determinante dipenda dallaparticolare linea scelta. Si dimostra a riguardo che sussiste il seguenteTeorema (di Laplace): se A è una matrice quadrata di ordine n allora il valore numerico di det A è sempreil medesimo quale che sia la linea scelta per il suo calcolo.
ESEMPI
1) Calcolare il determinante associato alla seguente matrice −
3 2 1
5 4 2
3 7 5
secondo gli elementi della prima riga. (E’ consigliabile, in fase preliminare, eseguire tale calcolo utilizzandola regola di Sarrus e verificare che il risultato ottenuto è esattamente 141).
Si ha: − −4 2 5 2 5 4
( ) ( ) ( )
+ +− − + − − −1 1 1 2 1
+3det A = 3 + 2 1 = 3 =1 2 1 1 1
A A A − −11 12 13 7 5 3 5 3 7
( ) ( ) ( )
+ − − − −
= 3 20 14
2 25 6 35 12 = 141
Osserviamo ora che se si calcola il determinante secondo gli elementi, ad esempio, della seconda colonna si ottiene, in accordo con il teorema di Laplace, sempre lo stesso risultato. Infatti si ha:
− − −5 2 3 1 3 1
( ) ( ) ( )
+ +− − + − − −1 2 2 2 3+2det A =
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