Istituzioni di matematica - Appunti con formule e dimostrazioni

I numeri reali

Richiami sugli insiemi numerici

Si definisce insieme una collezione di oggetti, detti elementi. Gli insiemi sono normalmente contrassegnati da lettere maiuscole, mentre i loro elementi da lettere minuscole.

Si denota l’insieme dei numeri naturali, così composto: { }

Si denota l’insieme dei numeri interi relativi, così composto: |{ } { } { }

Si denota l’insieme dei numeri razionali, così composto: { | }

Si denota l’insieme dei numeri reali, tale che: sono elementi dell’insieme i numeri irrazionali algebrici (come la radice quadrata di 2) e trascendenti (come π).

Rappresentazione geometrica dei numeri reali

Essendo l’insieme R infinitamente denso, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale, ottenendo la seguente rappresentazione.

Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali per i quali valga la seguente proprietà: Necessariamente, esiste almeno un numero reale c tale che:

NOTA: l’assioma di completezza sembra esprimere un concetto ovvio, tuttavia non è valido per tutti gli insiemi numerici.

Valore assoluto

Si definisce valore assoluto o modulo di un numero reale a, il numero reale |a| tale che: | |

Massimo, minimo, estremi superiore ed inferiore

Sia A un generico insieme di numeri reali, cioè A ⊆ R.

Si definisce massimo dell’insieme A un numero reale M ∈ A tale che:

Si definisce minimo dell’insieme A un numero reale m ∈ A tale che:

I numeri reali aventi le proprietà di massimo o minimo rispetto a un insieme A ma che non appartengono ad A, si definiscono rispettivamente maggioranti o minoranti di A. Se un insieme A ammette un maggiorante si dice limitato superiormente; se ammette un minorante si dice limitato inferiormente; se ammette sia un maggiorante, sia un minorante è semplicemente limitato.

Si dice estremo superiore di A e si indica sup(A) il minore dei suoi maggioranti.

Si dice estremo inferiore di A e si indica inf(A) il maggiore dei suoi minoranti.

NOTA: non tutti gli insiemi di numeri reali comprendono necessariamente un massimo o un minimo, né sono necessariamente limitati.

Le funzioni reali

Definizione di funzione

Siano A e B due insiemi non vuoti. Si dice funzione (o applicazione) definita in A e a valori in B, una legge f: A → B che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. In questo caso, l’insieme A costituisce il dominio della funzione f, l’insieme B il codominio. Si definisce immagine della funzione f il sottoinsieme di B (al più coincidente con B) i cui elementi (detti immagini) sono associati agli elementi dell’insieme A (detti controimmagini o preimmagini) attraverso f.

Funzione inversa

Sia f: A → B una generica funzione definita nell’insieme A e a valori in B. Si definisce inversa della funzione f la funzione f^-1: B → A definita in B e a valori in A, tale che:

NOTA: le funzioni che ammettono la definizione dell’inversa si dicono invertibili e non tutte lo sono.

Composizione di funzioni

• Siano f: A → B e g: B → C due generiche funzioni, l’una definita in A e a valori in B, l’altra definita in B e a valori in C.
• Si dice composta di f e g la funzione così definita: (g ˆ f)(x) = g(f(x))

Essa è ottenuta a partire da f(x) (detta funzione interna), applicando a quest’ultima la funzione g (funzione esterna). Perché due funzioni siano componibili è necessario che il dominio della funzione esterna coincida con l’immagine della funzione interna.

Classificazione insiemistica delle funzioni

Sia f: A → B una generica funzione definita in A e a valori in B. La funzione f è iniettiva se e solo se ad elementi distinti del dominio A associa elementi distinti del codominio B, cioè se è tale che: (f(x₁) = f(x₂))

La funzione f è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio B, cioè se: (f(x) | x ∈ A) = B

La funzione f è biiettiva o biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.

NOTA: le funzioni biunivoche sono le sole invertibili.

Rappresentazione grafica delle funzioni

Sia f: A → B una funzione definita in A e a valori in B, con A, B ⊆ R. Costituisce il grafico della funzione f l’insieme G delle coppie ordinate (a,b) così definito: {(a, b) | b = f(a)}

Nella rappresentazione cartesiana di tale grafico, si considerano due rette perpendicolari dette assi (l’una ascissa, l’altra ordinata), che si intersecano in un punto O detto origine degli assi. Fissata una direzione positiva delle rette ed un’unità di misura, ogni valore della funzione f da rappresentare corrisponde a un punto (a,b) la cui distanza lungo l’asse delle ascisse corrisponde alla lunghezza del segmento Oa e lungo l’asse delle ordinate alla lunghezza del segmento Ob.

Funzioni crescenti e decrescenti

Sia f una funzione definita in un insieme A. La funzione f è crescente se: f(x₁) ≤ f(x₂) quando x₁ ≤ x₂

La funzione f è strettamente crescente se: f(x₁) < f(x₂) quando x₁ < x₂

La funzione f è decrescente se: f(x₁) ≥ f(x₂) quando x₁ ≥ x₂

La funzione f è strettamente decrescente se: f(x₁) > f(x₂) quando x₁ > x₂

NOTA: le funzioni che rispettano una delle suddette condizioni si dicono monotòne e strettamente monotòne se sono strettamente crescenti o strettamente decrescenti; in ogni caso sono sempre invertibili.

Funzioni lineari: la retta

Si definisce funzione lineare una funzione reale f della forma: f(x) = mx + q

La funzione f così definita rappresenta graficamente una retta. I parametri m e q sono valori di R e sono detti rispettivamente coefficiente angolare (o pendenza) e intercetta. Il primo determina l’inclinazione della retta nel piano cartesiano, il secondo il suo spiazzamento rispetto all’origine degli assi.

NOTA: le funzioni lineari sono definite per ogni valore di x e sono sempre monotòne; sono strettamente monotòne, e quindi invertibili, se m ≠ 0, cioè se non sono costanti (rette orizzontali).

Funzioni polinomiali

Si definisce monomio un’espressione algebrica formata dal prodotto di un coefficiente noto (costante), appartenente a un determinato insieme numerico, e di una o più variabili. Si definisce polinomio un’espressione algebrica formata dalla somma algebrica di più monomi. Si definisce grado di un polinomio il maggiore esponente fra i suoi termini, cioè fra gli elementi che lo compongono.

Sono polinomiali le funzioni espresse nella forma di polinomi. Le funzioni lineari (le rette) sono funzioni polinomiali di primo grado.

Le parabole, cioè le funzioni nella forma y = ax² + bx + c, sono funzioni polinomiali di secondo grado.

La funzione modulo o valore assoluto

Si definisce funzione modulo o funzione valore assoluto la funzione f così definita: f(x) = |x|

Per definizione, la funzione modulo ammette le seguenti proprietà: |xy| = |x||y|, |x/y| = |x|/|y|, |x + y| ≤ |x| + |y|, |x - y| ≥ ||x| - |y||

La funzione potenza

Sia n un numero naturale, cioè n ∈ N. Si definisce funzione potenza o potenza n-esima di un numero reale x, una funzione reale f della forma: f(x) = xⁿ

La variabile reale x prende il nome di base della potenza, mentre n è detto esponente.

La funzione potenza è definita per ogni valore di x e non è sempre invertibile su tutto il suo dominio. Se la base x ≠ 0, si attribuisce significato anche alla potenza con esponente nullo, e precisamente: x⁰ = 1.

Inoltre, valgono le seguenti proprietà: (x^m)(xⁿ) = x^m+n, (x^m)ⁿ = x^mn

La funzione radice

Si definisce funzione radice o radice n-esima di un numero reale x, una funzione reale f della forma: f(x) = √ⁿx

La variabile reale x prende il nome di radicando, mentre n è detto indice della radice. La radice è l’inversa della funzione potenza, eventualmente ristretta, in quanto non invertibile, ad un intervallo del suo dominio (x ≥ 0 per n pari). Equivale a un elevamento a potenza a esponente razionale, dove il numeratore rappresenta il grado del radicando e il denominatore l’indice della radice.

La funzione esponenziale

Si dice esponenziale la funzione f così definita: f(x) = a^x

La base a è un numero reale a > 0 fissato, mentre la variabile x appare in luogo dell’esponente. La funzione esponenziale è sempre positiva e definita per ogni valore di x. In particolare, è strettamente crescente se a > 1 e strettamente decrescente se a < 1. In entrambi i casi è ovviamente invertibile, mentre è costante (e non invertibile) esclusivamente per a = 1.

NOTA: tipicamente, si definisce esponenziale la funzione avente per base il numero reale trascendente e, detto costante di Nepero, pari a circa 2,72.

Il logaritmo

Si definisce logaritmo in base a di x la funzione f così definita: f(x) = log_a(x)

Il logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale ed essendo quest’ultima sempre positiva il suo dominio è ristretto a x > 0. È una funzione strettamente crescente se la base a > 1, mentre è strettamente decrescente per 0 < a < 1.

Inoltre, gode delle seguenti proprietà: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)

NOTA: quando non si riporta l’indicazione della base si intende tipicamente il logaritmo naturale, denotato anche ln, cioè il logaritmo in base e.

Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente

Fissato un sistema di riferimento cartesiano, si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine del piano cartesiano.