Geometria analitica e algebra lineare - Appunti

Appunti di Geometria analitica e calcolo lineare per l'esame del professor Valabrega sui seguenti argomenti:
- il calcolo vettoriale: concetto di vettore e operazioni con vettori. Prodotto scalare, distanze, angoli. Prodotto vettoriale, prodotto misto, aree e volumi. Geometria del piano, rette e coniche. Equazioni di un piano nello spazio. Rette in forma parametrica.
- le matrici e i sistemi: matrici, somma e prodotto di matrici. Potenze e inverse di matrici quadrate. Sistemi di equazioni, forma matriciale di un sistema. Teorema di Rouchè-Capelli. Indipendenza lineare in Rn. Combinazioni lineare e sottospazi generati da vettori. Sottospazi di Rn, basi. Spazi generati dalle righe o dalle colonne di matrici.
- le applicazioni lineari: concetto di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi. Matrici associate ad applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Nullità e Rango. Operazioni su sottospazi. Somma e somma diretta di sottospazi.
- la diagonalizzazione: endomorfismi, cambiamenti di base. Autovalori, determinante di una matrice quadrata. Autovettori, sottospazi, molteplicità. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Matrici ortogonali. Diagonalizzabilita' di matrici quadrate e diagonalizzazione delle matrici simmetriche.
- il calcolo differenziale. curve nello spazio. Vettore e retta tangente. Lunghezza di un arco di curva e integrale curvilineo. Funzioni con dominio in Rn. Elementi di topologia. Limiti e continuità. Derivate parziali e gradiente. Funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana.
- le funzioni di due variabili: il grafico di una funzione di due variabili. Paraboloidi. Differenziabilità e piano tangente. Derivate seconde, matrice Hessiana. Sviluppi in serie di Taylor. Punti di massimo e minimo relativo. Estremi.
- Superfici e quadriche: superfici di rotazione, sfere. Ellissoidi e Iperboloidi. Rotazioni del piano e dello spazio. Quadriche, rette e piani. Superfici in forma parametrica. Vettore normale, piano tangente e retta normale.

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  • 14-03-2014
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