Matematica e laboratorio - formulario per studio di funzione

Studio di funzione

Dominio

Indica per quali intervalli la funzione è definita. g(x) è una funzione trigonometrica, quindi g(x) ≠ sen e cos. Se h(x) ≠ 0 allora g(x) ≠ 2 e 2n. Se f(x) = log(g(x)) allora g(x) > 0. Se g(x) ≥ 0, la funzione è definita.

Pari o dispari

Indica se la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle y o rispetto all'origine. La funzione è pari se f(x) = f(-x) e dispari se f(x) = -f(-x).

Intersezioni con gli assi

Se la funzione incontra gli assi delle ascisse e delle ordinate:

• Con l'asse delle Y: y = 0
• Con l'asse delle X: x = 0

Segno della funzione

Indica dove la funzione è sopra o sotto l'asse delle x. La funzione è positiva se f(x) > 0 e negativa se f(x) < 0.

Limiti

Indica l'andamento della funzione alla frontiera del dominio. Se illimitata superiormente o inferiormente: lim x → ±∞ f(x) = ±∞.

Asintoti

Utilizza i limiti per trovare punti d'accumulazione grazie al dominio.

• Asintoto verticale: Se lim x → c f(x) = ±∞, allora y = l.
• Asintoto orizzontale: Se lim x → ±∞ f(x) = l, allora y = l.
• Asintoto obliquo: Se lim x → ±∞ (f(x) - mx) = q, allora y = mx + q.

Segno derivata prima

Indica dove la funzione è crescente o decrescente. Inoltre, permette di individuare punti di massimo e minimo relativi o assoluti. Se f'(x) > 0, la funzione è crescente. Se f'(x) < 0, la funzione è decrescente.

Segno derivata seconda

Indica dove la funzione è concava o convessa. Inoltre, permette di individuarne i punti di flesso. Se f''(x) > 0, la funzione è convessa. Se f''(x) < 0, la funzione è concava.

Retta tangente alla curva in un punto

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Area compresa fra due curve

∫_a^b (f(x) - g(x)) dx = F(b) - F(a)

Limiti

Forme indeterminate:

• lim x → 0 (∞ - ∞)
• lim x → 0 (0/0)
• lim x → ±∞ (∞/∞)
• lim x → 0 (1^∞)
• lim x → 0 (0⁰)

Limiti notevoli

lim_x→0 sin(αx)/αx = 1
lim_x→0 tan(αx)/αx = 1
lim_x→0 arcsin(αx)/αx = 1
lim_x→0 arctan(αx)/αx = 1