Fisica e Scienze Biologiche - Appunti e esercizi

Fisica per Scienze Biologiche, Prof. Boscherini e Prof.ssa Pecori

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Compito scritto del 12/6/2006

Tempo a disposizione: 1 ora

Gara di tiro con l'arco

[1] Durante una gara di tiro con l'arco, una freccia viene lanciata in direzione orizzontale con velocità iniziale di v₀ = 28 m/s; la quota di lancio sopra il livello del suolo è di H = 1.6 m. La freccia colpisce il bersaglio ad una quota sopra il livello del suolo di h = 1.2 m.

Moto della freccia

i) Come si può descrivere il moto della freccia nella direzione verticale? Quanto vale l'accelerazione in direzione verticale? Giustifica la tua risposta. 2 punti.

La freccia si muove sotto l'azione della forza peso, che agisce verticalmente verso il basso, imponendo un'accelerazione costante uguale a g verso il basso. Pertanto, in direzione verticale, si tratta di un moto uniformemente accelerato, con velocità iniziale nulla in quanto il lancio è orizzontale. In un sistema di riferimento positivo verso l'alto e con origine al livello del suolo, la posizione iniziale vale H e l'accelerazione costante vale -g = -9.8 m/s².

Equazione del moto verticale

ii) Scrivi l'equazione che permette di determinare la posizione verticale della freccia in funzione del tempo trascorso dall'istante di lancio, motivando la tua risposta. 2 punti.

In base alla risposta al punto precedente e utilizzando una delle formule applicabili al moto uniformemente accelerato, y = H - ½ g t²

Tempo di volo

iii) In base alla risposta al punto precedente, scrivi un'equazione che permette di determinare il tempo di volo t. 2 punti.

Risolvendo l'equazione scritta al punto precedente per la quota y = h, al tempo uguale al tempo di volo t, si trova t = √(2(H-h)/g).

Calcolo del tempo di volo

iv) Quanto vale il tempo di volo? 1 punto.

t = 0.29 s

Distanza orizzontale

v) Scrivi un'equazione che permette di calcolare la distanza orizzontale tra il punto di lancio e il bersaglio, giustificando la tua risposta. 2 punti.

In direzione orizzontale il moto si svolge a velocità costante, uguale a v₀. Poiché il tempo di volo è t, lo spostamento orizzontale corrispondente (e quindi la distanza richiesta) è L = v₀t.

Calcolo della distanza orizzontale

vi) Qual è la distanza orizzontale tra il bersaglio ed il punto di lancio? 1 punto.

L = 8.0 m

Una cassa su un piano orizzontale

[2] Una cassa di massa M = 1.3 × 10³ kg è ferma su un piano orizzontale, inizialmente considerato privo di attrito. Tramite una corda inclinata di un angolo θ = 35° rispetto all'orizzontale, viene applicata alla cassa una forza costante di modulo uguale a F = 7.2 kN; la cassa percorre una distanza orizzontale uguale a L = 23 m.

Calcolo del lavoro svolto

i) Scrivi l'equazione che permette di calcolare il lavoro svolto sulla cassa, giustificando il risultato. 2.5 punti.

Sulla cassa agiscono tre forze: la forza peso, la forza normale e la tensione della corda. Poiché la cassa si muove sul piano orizzontale, le prime due forze non compiono lavoro. La tensione, invece, compie lavoro, che si può calcolare considerando che essa è costante ed agisce ad un angolo rispetto allo spostamento; pertanto, W = FL cos θ.

Lavoro della forza

ii) Quanto vale il lavoro svolto dalla forza? 1 punto.

W = 1.4 × 10⁵ J

Velocità finale della cassa

iii) Scrivi una relazione che permette di determinare la velocità finale della cassa, v_F, spiegando il ragionamento in base al quale sei giunto al risultato. 2.5 punti.

Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro svolto dalla forza è uguale alla variazione dell'energia cinetica. Poiché la cassa è inizialmente ferma, W = ½ mv_F²; pertanto, v_F = √(2W/m).

Calcolo della velocità finale

iv) Quanto vale la velocità finale della cassa? 1 punto.

v_F = 14 m/s

Energia dissipata da attrito

v) Considera ora il moto della medesima cassa su un piano orizzontale che esercita una forza di attrito; a seguito dello svolgimento del medesimo lavoro la cassa acquista una velocità v' = 10 m/s. Scrivi una relazione che permette di determinare l'energia dissipata dalla forza di attrito, spiegando il ragionamento in base al quale sei giunto al risultato. 2 punti.

L'energia dissipata dalla forza di attrito è uguale alla differenza di energia cinetica nei due casi, W_D = ½ mv_F² - ½ mv'².

Calcolo dell'energia dissipata

vi) Quanto vale l'energia dissipata dalla forza di attrito? 1 punto.

W_D = 7.1 × 10⁴ J

Fisica per Scienze Biologiche, Prof. Boscherini e Prof.ssa Pecori

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Compito scritto del 15/12/2006

Tempo a disposizione: 1 ora

Lancio del pallone

[1] Un bambino lancia un pallone da un balcone che si trova ad un'altezza H = 14 m da terra. Il lancio avviene con un'inclinazione di θ = 20° verso l'alto rispetto all'orizzontale e il pallone tocca il suolo dopo il tempo di volo t = 2.8 s a una distanza dal balcone (in orizzontale) di L = 36 m.

Schizzo della situazione

vi) Fai un semplice schizzo nello spazio a disposizione illustrando la situazione fisica: il balcone, il suolo, la traiettoria del pallone e il punto di impatto. 3 punti.

Balcone H L

Componente orizzontale della velocità

vii) Scrivi un'espressione per la componente orizzontale della velocità di lancio in funzione del suo modulo e dell'angolo θ. 1 punto.

La componente orizzontale del vettore v₀ è v_0x = v₀ cos θ.

Modulo della velocità di lancio

viii) In base alla risposta al quesito precedente, scrivi un'espressione che permetta di risalire al modulo della velocità di lancio in funzione dell'angolo θ, del tempo di volo t e della distanza percorsa orizzontalmente L, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Poiché l'unica forza agente è la forza peso (verticale), la componente orizzontale della velocità si conserva. Pertanto, la distanza percorsa orizzontalmente è L = v₀ cos θ t. Quindi, v₀ = L/(cos θ t).

Calcolo della velocità di lancio

iv) Quanto vale il modulo della velocità di lancio? 1 punto.

v₀ = 13.7 m/s

Componente verticale della velocità

v) Scrivi un'espressione per la componente verticale della velocità di lancio in funzione del modulo della velocità e dell'angolo θ. 1 punto.

La componente verticale del vettore v₀ è v_0y = v₀ sin θ.

Istante di massima quota

vi) Prendendo come origine dei tempi l'istante di lancio, scrivi un'espressione che permetta di risalire all'istante in cui la palla raggiunge la massima quota, in funzione del modulo della velocità di lancio e dell'angolo θ, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Il moto in direzione verticale è un moto uniformemente accelerato, con accelerazione g verso il basso e velocità iniziale v_0y. Pertanto, prendendo un asse positivo verso l'alto e l'origine dei tempi nell'istante di lancio, la velocità all'istante t è v_0y - gt. La massima quota viene raggiunta quando v_0y - gt = 0, pertanto t = v₀ sin θ / g.

Calcolo dell'istante di massima quota

vii) In quale istante viene raggiunta la massima quota? 1 punto.

t_max = 0.48 s

Cassa su un piano inclinato

[2] Una cassa di massa M = 32.1 kg viene spinta verso l'alto da una forza applicata costante su un piano inclinato ruvido che forma un angolo di θ = 7° rispetto all'orizzontale; la direzione della forza è parallela al piano inclinato. Partendo da ferma, la cassa giunge con velocità nulla nel punto di arrivo, percorrendo una distanza lungo il piano di L = 6.32 m.

Schizzo della situazione

i) Fai un semplice schizzo nello spazio a disposizione illustrando la situazione fisica: il piano inclinato, la cassa e tutte le forze che agiscono sulla cassa. 3 punti.

FN FF_att mg

Calcolo della differenza di quota

ii) Scrivi un'espressione per la differenza di quota (verticale) della cassa tra il punto di partenza e quello di arrivo H, in funzione dell'angolo θ e della distanza L. 1 punto.

Considerando un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza L e uno dei cui cateti è verticale, abbiamo H = L sin θ.

Aumento di energia potenziale

iii) In base al risultato del quesito precedente, scrivi un'espressione per l'aumento di energia potenziale gravitazionale della cassa. 2 punti.

Poiché la cassa si sposta in verticale di H, l'aumento di energia potenziale gravitazionale è ΔU = mgH.

Lavoro svolto dalla forza esterna

iv) A seguito dell'energia dissipata dalla forza di attrito, il lavoro svolto dalla forza esterna per spostare la cassa è il doppio di quello che avrebbe svolto con un piano perfettamente liscio. Scrivi un'espressione che permetta di risalire al lavoro svolto dalla forza esterna per spostare la cassa, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Poiché la cassa parte da ferma e giunge nel punto di arrivo con velocità nulla, nel bilancio energetico non sono da considerare variazioni di energia cinetica; inoltre, la forza normale è perpendicolare allo spostamento e quindi non compie lavoro mentre la forza di attrito ha direzione opposta allo spostamento e compie un lavoro negativo, dissipando energia meccanica. Pertanto, il lavoro svolto dalla forza esterna è uguale alla variazione di energia potenziale (nell'unica forma applicabile al problema in oggetto, cioè quella gravitazionale) più l'energia dissipata a causa dell'attrito. Nel caso di un piano perfettamente liscio, il lavoro svolto dalla forza esterna sarebbe stato semplicemente uguale all'aumento di energia potenziale gravitazionale W = mgH. Nel caso del piano ruvido considerato, il lavoro è il doppio di quello che sarebbe stato svolto su un piano liscio. Pertanto, W = 2mgH.

Calcolo del lavoro svolto dalla forza esterna

v) Quanto vale il lavoro svolto dalla forza esterna? 1 punto.

W = 485 N

Cassa su un piano inclinato ruvido

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Compito scritto del 19/9/2006

Tempo a disposizione: 1 ora

Equilibrio statico su piano inclinato

[1] Una cassa si trova appoggiata su un piano inclinato ruvido. La forza di attrito statica esercitata dal piano sulla cassa è tale da mantenerla immobile; l'angolo di inclinazione del piano rispetto all'orizzontale è θ = 17.7°.

Schizzo delle forze

i) Fai un semplice schizzo nello spazio a disposizione illustrando le tre forze che agiscono sulla cassa. 3 punti.

FN F_a mg

Forza normale e forza peso

ii) Scrivi una relazione che metta in relazione la forza normale con la forza peso e l'inclinazione del piano, giustificando la tua risposta. 2 punti.

La risultante delle tre forze è nulla, in quanto la cassa è immobile. Per mettere in relazione le forze tra di loro è necessario trovare le componenti delle forze in un sistema di riferimento opportunamente scelto. È conveniente scegliere un sistema di riferimento inclinato come il piano. La forza di attrito non ha componenti nella direzione ortogonale al piano mentre uguagliando le componenti della forza normale e della forza peso in questa direzione si trova che mg cos θ = FN.

Forza di attrito e forza peso

iii) Scrivi una relazione che metta in relazione la forza di attrito con la forza peso e l'inclinazione del piano, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Nella direzione parallela al piano la forza normale non ha componenti mentre uguagliando le componenti della forza peso e della forza di attrito si trova che F_a = mg sin θ.

Coefficiente di attrito statico

iv) Sulla base delle risposte ai due punti precedenti, scrivi una relazione che metta in relazione il coefficiente di attrito statico con l'angolo di inclinazione, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Il coefficiente di attrito statico è dato da μ = F_a/F_N. Utilizzando le relazioni precedentemente trovate, otteniamo μ = tan θ.

Valore del coefficiente di attrito statico

v) Quanto vale il coefficiente di attrito statico? 1 punto.

μ = 0.319

Salto dal balcone

[2] Un uomo di massa m = 65 kg salta da un balcone su di un telone; il balcone si trova ad una quota di H = 12 m sopra il telone, il cui comportamento è assimilabile ad un corpo perfettamente elastico (cioè ad una molla) con una costante di forza k = 3.8 × 10⁵ N/m. A seguito dell'impatto il telone si estende fino a raggiungere il punto di minima quota.

Energia iniziale del sistema

i) Prendendo come origine del sistema di riferimento verticale la quota del telone nella posizione iniziale (cioè la quota del telone non esteso), quale tipo di energia possiede il sistema composto dall'uomo e dal telone prima del salto, cioè nella configurazione iniziale? Fornisci un'espressione per questa energia (senza calcolarla numericamente). 1.5 punti.

Il sistema possiede esclusivamente energia potenziale gravitazionale. L'energia totale iniziale vale E_in = mgH.

Velocità al punto di minima quota

ii) Qual è la velocità dell'uomo quando si trova nel punto di minima quota, cioè nella configurazione finale? 1 punto.

Nel punto di minima quota l'uomo ha, istantaneamente, velocità nulla.

Energia finale del sistema

iii) Quando l'uomo si trova nel punto di minima quota, quali tipi di energia possiede il sistema composto dall'uomo e dal telone? Fornisci un'espressione per l'energia totale (senza calcolarla numericamente). 2 punti.

Il sistema possiede sia energia potenziale elastica (dovuta all'estensione verso il basso del telone) sia energia potenziale gravitazionale (dovuta all'abbassamento dell'uomo). Scrivendo la quota minima dell'uomo –h (nota il segno negativo davanti ad h, che dovrà quindi essere > 0) l'energia totale finale è E_fin = ½kh² - mgh.

Equazione per la minima quota

iv) In base alla risposta ai quesiti precedenti scrivi un'equazione che permetta di determinare la minima quota dell'uomo, spiegando in base a quale ragionamento sei giunto al risultato. 2 punti per l'impostazione, 2 punti per la soluzione dell'equazione.

Per la conservazione dell'energia meccanica, l'energia meccanica del sistema nella configurazione iniziale è uguale all'energia meccanica nella configurazione finale. Pertanto, mgH = ½kh² – mgh. Risolvendo questa equazione quadratica per h si trova h = √(2mgH + mgh)/k.

Calcolo della minima quota

v) Quanto vale la minima quota raggiunta dall'uomo? 1.5 punti.

h = 20 cm

Due automobili in movimento

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Compito scritto del 23/6/2006

Tempo a disposizione: 1 ora

Inizio del moto delle automobili

[1] Due automobili si trovano ferme nella stessa posizione su una strada rettilinea. Ad un determinato istante, le automobili cominciano a muoversi nella medesima direzione, la prima con velocità costante uguale a v₀ = 50 km/h, la seconda con accelerazione costante uguale a a₀ = 2.0 × 10³ km/h². Per quanto riguarda la prima automobile, si può trascurare il tempo necessario a raggiungere la velocità costante.

Equazione della prima automobile

i) Scrivi un'equazione che mette in relazione la posizione della prima automobile, x₁, con il tempo, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Utilizziamo un sistema di riferimento con origine nel punto di partenza di ambedue le automobili e positivo nella direzione di marcia. Si tratta di moto a velocità costante (quindi con accelerazione nulla) e con posizione iniziale nulla. Pertanto, x₁ = v₀t.

Equazione della seconda automobile

ii) Scrivi un'equazione che mette in relazione la posizione della seconda automobile, x₂, in funzione del tempo, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Utilizziamo il medesimo sistema di riferimento. Si tratta di moto uniformemente accelerato, con velocità e posizione iniziali nulle. Pertanto, x₂ = ½a₀t².

Istante di incontro delle automobili

iii) Sulla base delle risposte ai due quesiti precedenti, scrivi un'equazione che permette di determinare l'istante in cui la seconda automobile raggiunge la prima, t_r, giustificando la tua risposta. 2 punti.

Quando la seconda automobile incontra la prima, la posizione delle due auto coinciderà. Pertanto, x₂ = x₁, e quindi v₀t = ½a₀t². Possiamo scrivere quest'ultima equazione come t(v₀ - ½a₀t) = 0; le due soluzioni sono t = 0, la quale coincide banalmente con l'istante in cui le auto cominciano a muoversi, e t = (2v₀/a₀), la soluzione ricercata. Pertanto, t_r = (2v₀/a₀).

Calcolo dell'istante di incontro

iv) In quale istante la seconda automobile raggiunge la prima? 1 punto.

t_r = 0.050 h = 3.0 min = 1.8 × 10³ s

Posizione di incontro delle automobili

v) Scrivi un'equazione che permette di determinare la posizione in cui la seconda automobile raggiunge la prima, x_r, giustificando la tua risposta. 2 punti.

È necessario sostituire il tempo t_r in una delle due equazioni orarie per x₁ o x₂. In ambedue i casi si trova x_r = (2v₀/a₀)v₀.

Calcolo della posizione di incontro

vi) A quale distanza dal punto di partenza la seconda automobile raggiunge la prima? 1 punto.

x_r = 2.5 km

Vagone ferroviario in movimento

[2] Un vagone ferroviario di massa M = 3.1 × 10³ kg viaggia sui binari a velocità costante uguale a …