Econometria - i modelli statici lineari

Francesco Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo I – Concetti di base

3 MODELLI STATICI LINEARI

Indice del capitolo

3.1 Forma strutturale generale dei modelli statici lineari ...........................................2

3.2 Forma matriciale delle equazioni strutturali ........................................................4

3.3 La partizione in blocchi ed i modelli ricorsivi ........................................................6

Le partizioni in blocchi della matrice dei parametri ........................................6

Un modello a due settori ricorsivo...................................................................7

I modelli ricorsivi a catena causale di Wold e Strotz........................................7

3.4 Forma ridotta generale dei modelli lineari deterministici .....................................9

3.5 I moltiplicatori nei sistemi statici ....................................................................... 11

La determinazione della matrice dei moltiplicatori ....................................... 11

3.6 Esercizi .............................................................................................................. 14

3.7 Riferimenti bibliografici...................................................................................... 15

03/12/01, 22.37 II edizione

Modulo I – Concetti di base

3.1 Forma strutturale generale dei modelli statici lineari

Il modello keynesiano costituito dalla (2.1.4) e dall’identità ex-post tra il reddito e

la somma del consumo e delle spese autonome

( )

= α + β −

 c y v 0<α, 0<β<1

 (3.1.1)

= +

 y c i

è costituito da due equazioni con due variabili endogene, , , e due esplicative,

y c i

e , e può essere scritto nella forma

v − β + β − α =

 c y v 0

 − + − =

 c y i 0 colonna delle intercette

colonna della i

ν

colonna della

colonna della y

colonna della c

nella quale i termini delle equazioni sono incolonnati in funzione delle medesime

variabili, prima le endogene e poi le esplicative. Ponendo

= = = =

, , , , ,

y c y y x v x = i x 1

2

1 2 1 3

il sistema (3.1.1) viene scritto nella forma seguente

− β + β + − α =

 y y x 0 x x 0

 1 2 1 2 3 (3.1.2)

− + + − + =

 y y 0 x x 0 x 0

1 2 1 2 3

caso particolare della forma strutturale generale dei sistemi lineari

β + β + + β + γ + γ + + γ

 =

y y ... y x x ... x 0

11 1 12 2 1 g g 11 1 12 2 1 k k

 β + β + + β + γ + γ + + γ =

 y y ... y x x ... x 0

21 1 22 2 2 g g 21 1 22 2 2 k k

 (3.1.3)

... ... ...



 β + β + + β + γ + γ + + γ =

y y ... y x x ... x

 0

g 1 1 g 2 2 gg g 11 1 g 2 2 gk k =

costituita da equazioni e quindi da endogene , , nonché da

g g y j 1

, 2 ,..., g k

j

=

variabili esogene, , . In forma più compatta tale sistema può essere

x l 1

, 2 ,..., k

l

scritto nel modo seguente

g k

∑ ∑

β + γ = =

y x 0 i 1

, 2 ,..., g

ij j il l

= =

j 1 l 1 3-2

Modulo I – Concetti di base

dove l’indice indica la -esima equazione.

i i

Naturalmente non tutte le variabili endogene ed esogene compaiono in ogni

equazione, cosicché alcuni parametri sono nulli. Se inoltre le equazioni strutturali

posseggono il termine noto (o intercetta), si può porre una variabile esogena, ad

esempio la -esima, uguale all’unità, in modo che i termini noti siano dati dalle

k

γ =

costanti , .

i 1

, 2 ,..., g

ik 3-3

Modulo I – Concetti di base

3.2 Forma matriciale delle equazioni strutturali

Il sistema (3.1.3) delle equazioni scritte nella forma strutturale generale può essere

esposto anche nel modo matriciale seguente

β β β γ γ γ

         

... y ... x 0

11 12 1 g 1 11 12 1

k 1

         

β β β γ γ γ (3.2.1)

... y ... x 0

         

+ =

21 22 2 g 2 21 22 2 k 2

         

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

         

β β β γ γ γ

         

... y ...

      x 0

g 1 g 2 gg g g 1 g 2 gk k

vale a dire, in forma compatta, + Γ = (3.2.2)

By x 0

× β Γ

dove è la matrice di ordine dei parametri , è la matrice di ordine

B g g ij

× dei parametri, è il vettore (colonna) delle variabili endogene, è il vettore

g k y x

(colonna) delle esogene e è il vettore con elementi nulli.

k 0

Il sistema (3.1.1) scritto nella forma (3.2.1) diventa

 

x

− β β − α

       

1

 

1 y 0 0

+ =

1

        (3.2.3)

x

 

− − 2

       

1 1 y 0 1 0 0

 

2  

x 3

come facilmente si controlla, mentre il sistema (2.3.5) in cui si è utilizzata la

funzione del consumo (2.1.4) e il tasso è stato sostituito dal suo esponenziale,

omettendo l’indice ,

t

( )

= α + β −

 c y v α > < β <

 0 , 0 1

= γ + δ + ε

 (3.2.4)

i exp r y γ > δ <

 0 , 0

= + +

 y c i g

possiede tre variabili endogene, che possiamo considerare , , , e tre esogene, le

c i y

restanti , , , cosicché può essere scritto nella forma

r g v − β + β − α =

 c y v 0

 − ε − δ − γ =

 (3.2.5)

i y exp r 0

 − − + − =

 c i y g 0

e ponendo = = = = = = =

, , , , , , ,

y c y i y y x exp r x g x v x 1

1 2 3 1 2 3 4

nell