Campi elettromagnetici I - l'elettromagnetismo

Appunti del Corso di

Campi Elettromagnetici 1

(Ingegneria Elettronica)

(Versione preliminare)

A cura dell'Ing. Giovanni Bozza

Parte I

Anno accademico 2005-2006

Nota: per l'anno accademico 2005/2006, questi appunti devono essere considerati come una

versione preliminare, suscettibile di modifiche ed integrazioni. Si prega di segnalare eventuali

errori. 1

Capitolo 1

Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo

1.1 Densità volumetrica di carica

Il lavoro di numerosi scienziati (soprattutto a partire dalla fine del XVIII secolo), hanno evidenziato

come tutti i fenomeni elettromagnetici siano descrivibili mediante un’entità fisica chiamata campo

elettromagnetico, generata da cariche elettriche (ferme o in moto).

∆q ∆V r t.

Sia la quantità di carica contenuta nel volume centrato nel punto all’istante

Si definisce densità volumetrica di carica ∆

q

( )

ρ =

t

r , lim

e ∆

V

∆ →

V 0 ( )

ρ r t

, sono

Nel SI l’unità di misura della carica elettrica è il Coulomb (C), le dimensioni di e

3

pertanto C/m . ( )

ρ r t V, V

Se si conosce , in una regione di spazio la quantità di carica presente in è

e ( ) ( )

∫ ρ

=

q t r t dV

,

e

V

V

Le cariche ferme all’interno di una regione sono completamente descritte dalla loro densità

volumetrica di carica. ( )

ρ

Osservazione: r t

nella teoria classica dell’elettromagnetismo si assume che , possa assumere

e

valori arbitrari e che, quando non si trattano insiemi discreti di cariche, essa sia una funzione

r

continua di . In realtà, in natura la carica elettrica può assumere solo valori multipli della carica

−

≅ ⋅

q 19

elementare C.

1

.

602 10

e

Il numero enorme di cariche elementari coinvolte nei fenomeni macroscopici e il loro valore

estremamente piccolo giustificano però queste approssimazioni.

2 ( )

ρ r t

Bisogna quindi intendere il limite che definisce , alla luce di queste considerazioni; tale

e ∆V

limite deve cioè essere inteso in senso non rigoroso, facendo in modo che risulti

macroscopicamente piccolo, ma microscopicamente grande (ossia contenga un numero molto

elevato di cariche elementari).

Esempio 1.1.1

Calcolare la carica contenuta in una regione sferica di raggio R nella quale

[ ]

( ) C

ρ

ρ ρ =

=

r t r

,

e 0

0 4

m

Soluzione

Usando coordinate sferiche si ha π π R

2

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ θ θ ϕ πρ

= = ⋅ =

q t r t dV r r drd d R

2 4

, sin

e 0 0

V 0 0 0

Esempio 1.1.2

Sia dato un sistema di riferimento cartesiano (O,x,y,z). Calcolare la quantità carica contenuta in una regione piana e

quadrata di lato 2L con centro nell’origine, giacente sul piano xy, nella quale [ ]

( ) ( ) C

ρ ρ δ ρ

= =

x y z t x y z

2 2

, , ,

e 0 0 6

m

Soluzione +∞

L L

( ) ( ) ( ) 4

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ δ ρ

= = =

q t t dV x y z dzdydx L

r 2 2 6

,

e 0 0

V 9

− − − ∞

L L

Osservazione: V S,

nei casi come questo in cui la regione è una superficie è possibile descrivere la

( )

ρ 2

r t

, (C/m ), dalla quale si

carica elettrica per mezzo della densità superficiale di carica elettrica s

può calcolare la carica totale nel modo seguente

( ) ( )

∫ ρ

=

q t r t dS

,

s

S

Nell’esempio considerato si ha [ ]

( ) C

ρ ρ ρ =

=

x y t x y

2 2

, ,

s 0

0 6

m

V l,

Analogamente, nei casi in cui la regione è una linea può essere conveniente impiegare la densità

( )

ρ r t

, (C/m), dalla quale si può calcolare la carica totale nel modo seguente

lineare di carica l ( ) ( )

∫ ρ

=

q t r t dl

,

l

l

Esempio 1.1.3

Calcolare la carica contenuta su un anello di raggio R e spessore trascurabile con centro nell’origine di un sistema di

riferimento cilindrico (O,r,θ,z) e posto sul piano z = 0, la cui densità lineare di carica è

3 [ ]

( ) C

ρ ρ ρ

= =

θ

r t

, cos

l 0 0

3 m

Soluzione π

2

( ) ( ) 3 3

∫ ∫

ρ ρ θ ρ

= = =

θ

q t r t dl Rd R

, cos

l 0 0

3

l 2

0

La densità superficiale e volumetrica corrispondenti in coordinate cilindriche si scrivono rispettivamente

[ ]

( ) ( ) C

ρ ρ δ ρ

= − =

θ

r t r R

, cos

s 0 0

3 m

[ ]

( ) ( ) ( ) C

ρ ρ δ δ ρ

= − =

θ

r t r R z

, cos

e 0 0

3 m

Esempio 1.1.4

r r r q q q

Siano i vettori posizione di tre cariche elettriche puntiformi . Scrivere la corrispondente densità

1

, , , ,

1 2 3 1 2 3

volumetrica di carica.

Soluzione

Trattandosi di cariche puntiformi è necessario impiegare la distribuzione delta di Dirac.

Pertanto si ha ( ) ( ) ( ) ( )

ρ δ δ δ

= − + − + −

r t q r r q r r q r r

,

e 1 1 2 2 3 3

V, densità di momento di

Data una distribuzione di carica che occupa un volume finito si definisce

dipolo elettrico il vettore ( ) ( )

ρ

=

P r t r r t

, ,

e

momento di dipolo elettrico

e il vettore

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ρ

= =

p t P r t dV r r t dV

, ,

e

V V

Esempio 1.1.5

l l

= = − = = −

r z r z q q q q

Siano i vettori posizione di due cariche elettriche (dipolo elettrostatico).

, ,

1 2

1 2

2 2

Calcolare il momento di dipolo elettrico p e la densità di momento di dipolo elettrico P.

Soluzione

Procedendo come nell’esempio precedente si ha ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎞

⎛

⎞

⎞ ⎛

⎛

⎞

⎛ l l l l

( ) ( ) ( )

ρ δ δ δ δ δ δ

− +

= −

− +

= − ⎟

⎜

⎟

⎟ ⎜

⎜

⎟

⎜

t q q x y z z

r r z r z

, ⎢ ⎥

⎢ ⎥

e ⎠

⎝

⎠

⎠ ⎝

⎝

⎠

⎝ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

2 2 2 2

In base alla definizione

1 Per cariche elettriche puntiformi si intendono cariche di dimensioni macroscopicamente così piccole da poter essere

assimilate ad un punto: si assume comunque che tali cariche “puntiformi” siano costituite da un numero elevato di

cariche elementari. Tale osservazione giustifica l’applicazione della teoria classica.

4 ⎤

⎡

⎤

⎡ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ l l l l

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ δ δ δ δ δ δ δ δ

− +

= −

− +

= = + + − ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

t q x y z x y z z ql x y z z

P r r x y z z

ˆ ˆ ˆ ˆ

, ⎥

⎢

⎥

⎢

e ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ ⎦

⎣

⎦

⎣ 2 2 2 2

⎤

⎡ ⎞

⎞ ⎛

⎛ l l

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

ρ δ δ δ δ =

− +

= = + + − ⎟

⎟ ⎜

⎜

p r r t dV q x

x y

y z z x y z z dV lq z

ˆ ˆ ˆ ˆ

, ⎥

⎢

e ⎠

⎠ ⎝

⎝ ⎦

⎣

V V 2 2

1.2 Densità di corrente elettrica ( )

J r t

, è definito nel modo seguente:

Il vettore densità di corrente elettrica e ( ) ( ) ( )

ρ

= v

J r t r t v r t

, , ,

e e

( ) ( )

ρ v r t v r t

, è la densità volumetrica di carica che si muove con velocità . E’ opportuno far

dove ,

e

notare che, in generale, ( ) ( )

ρ ρ

≠

v t t

r r

, ,

e e 2 .

Nel SI la densità di corrente elettrica si misura in A/m

i(t) S

La corrente elettrica che attraversa una superficie è legata alla densità di corrente dalla

relazione ( ) ( )

∫

= ⋅

i t J r t n dS

ˆ

,

e

S

Analogamente a quanto visto per la densità volumetrica di carica si può definire la densità di

corrente superficiale (A/m) ( ) ( ) ( )

ρ

= v

t t t

J r r v r

, , ,

s s

l S,

a cui corrisponde, data una linea giacente sulla superficie la corrente

( ) ( )

∫

= ⋅

i t J r t d l

,

s

l

Anche in questo caso, a livello macroscopico, che le cariche elettriche siano discrete e quantizzate è

trascurabile e la densità di corrente può essere considerata una funzione continua.

Osservazione: è importante sottolineare il fatto che si è in presenza di una corrente elettrica ogni

volta che ci sono cariche in moto e non solo quando queste si muovono all’interno di un conduttore.

Un fascio di particelle cariche emesse da una sorgente costituisce un esempio di corrente elettrica.

Esempio 1.2.1

Si consideri un conduttore cilindrico di sezione circolare di raggio R al cui interno sia presente una densità di carica

ρ

uniforme . Sapendo che le cariche si muovono parallelamente all’asse del conduttore e che la velocità delle cariche

0

è costante e pari a v, calcolare la corrente attraverso una generica sezione A del conduttore.

Soluzione

( ) ( ) ( )

ρ ρ

= ⇒ =

v

t t t

J r r v r J v

, , ,

e e e 0 π

R , si ha

Per definizione, osservando che l’area della superficie A vale 2

5

( ) ( )

∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ π

= ⋅ = ⋅ = =

J r n v n

i t t dS dS v dS v R 2

ˆ ˆ

,

e 0 0 0

A A A

Esempio 1.2.2

Si consideri una spira circolare di raggio R e spessore trascurabile in cui circola una corrente uniforme e costante I. Si

( ) ( )

t t

J r J r

trovi l’espressione di e .

, ,

e s

Soluzione φ

,z) in modo che l’origine coincida con il centro della spira e che questa giaccia sul

Si fissi un riferimento cilindrico (O,r,

piano z = 0.

I portatori di carica percorrono un moto circolare, pertanto la loro velocità è tangente alla spira in ogni punto, ossia

= v

v φ

ˆ

ϕ =

⎧ r R

φ

Per ragioni di simmetria la densità di carica non dipende da ed è “concentrata” sulla linea ; poniamo pertanto

⎨ =

z

⎩ 0

[ ]

( ) ( ) ( ) C

ρ ρ δ δ ρ

= − =

t r R z

r ,

e 0 0 m

[ ]

( ) ( ) C

ρ ρ δ ρ

= − =

t r R

r ,

s 0 0 m

Dunque ( ) ( ) ( )

ρ δ δ

= −

t v r R z

J r φ

ˆ

, ϕ

e 0

( ) ( )

ρ δ

= −

t v r R

J r φ

ˆ

, ϕ

s 0

ρ v , imponiamo

Per determinare la costante ϕ

0 ( ) ( )

∫ ρ δ δ

= − ⋅

I r R z v φ n dS

ˆ ˆ

ϕ

0

S =

φ n φ

= 0. Allora risulta e si ha

A tal fine scegliamo S coincidente con il piano ˆ ˆ

+∞+∞

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

ρ δ δ ρ δ δ ρ

− ⋅ = − = =

φ n

r R z v dS v r R z dzdr v I

ˆ ˆ

ϕ ϕ ϕ

0 0 0

S − ∞

0

Dunque si ottiene ( ) ( ) ( )

δ δ

= −

t I r R z

J r φ

ˆ

,

e ( ) ( )

δ

= −

t I r R

J r φ

ˆ

,

s

Allo stesso risultato si poteva pervenire imponendo ( ) ( )

∫ ρ δ δ

= − ⋅

I r R z v φ̂ d l

ϕ

0

l

ϕ =

⎧ 0

e scegliendo come curva l, ad esempio, ⎨ =

z

⎩ 0 6

( )

( )

ρ t t

r J r

, e , non sono indipendenti, ma devono soddisfare

Come sarà precisato più avanti, e e

l’equazione di continuità (qui scritta in forma locale)

( )

ρ

∂ t

r ( )

, + ∇ ⋅ =

t

J r

e , 0

e

∂

t

che esprime il principio fisico di conservazione della carica elettrica.

( ) ( )

ρ t t

r J r

, e , .

Per descrivere le cariche in moto sono quindi necessarie e e

Esempio 1.2.3

Verificare che la densità di corrente trovata nell’esempio precedente soddisfa l’equazione di continuità.

Soluzione

Poiché la densità di carica non dipende dal tempo, l’equazione di continuità diventa

( )

∇ ⋅ =

t

J r , 0

e ϕ

= + +

u u u

u r z , risulta

Ricordando che in coordinate cilindriche, per un generico campo vettoriale ˆ ˆ ˆ

ϕ

r z

( ) ∂

∂ ∂

u

ru u

1 1 ϕ

∇ ⋅ = + +

u r z

ϕ

∂ ∂ ∂

r r r z

( ) ϕ

=

t J

J r

essendo , si ha

ˆ

, ϕ

e ∂ ∂

J [ ]

( ) ( ) ( )

1 1

ϕ δ δ

∇ ⋅ = = − =

J r t I r R z

, 0

ϕ ϕ

e ∂ ∂

r r ( )

densità di momento di dipolo magnetico J r t

Si definisce di , , il vettore

e

( ) ( )

1

= ×

M r t r J r t

, ,

e

2

( )

momento di dipolo magnetico J r t

e di ,

e ( ) ( )

1 ∫

= ×

m t r J r t dV

,

e

V

2

( )

V J r t

essendo il dominio spaziale (finito) di , .

e

Esempio 1.2.4

Calcolare il momento di dipolo magnetico di una spira circolare di raggio R, sezione trascurabile e percorsa da corrente

costante I uniforme.

Soluzione

Usando il sistema di coordinate adottato nell’esempio 1.2.2, è noto che per una spira di raggio R, sezione trascurabile e

( ) ( ) ( )

δ δ

= −

J r t I r R z φ

percorsa da corrente costante I uniforme, ˆ

,

e ϕ

=

= + dV rdrd dz

r r r z z e

Osservando che, in coordinate cilindriche, ˆ ˆ 7

[ ] ( ) ( )

1 ∫ δ δ

= + × − =

r z I r R z dV

m r z φ

ˆ ˆ

ˆ

V

2 π π

+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞

2 2

I I

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

δ δ ϕ δ δ ϕ π

= − − − = =

z r r R z drd dz r r r R z z drd dz I R z IA z

2 2

ˆ

ˆ ˆ ˆ

spira

2 2

− ∞ − ∞

0 0 0 0

Esempio 1.2.5

Calcolare il momento di dipolo magnetico di una spira piana di forma arbitraria percorsa da corrente I, costante e

uniforme.

Soluzione

Si fissi un sistema di riferimento cilindrico con piano z = 0 coincidente con il piano sul quale giace la spira.

( )

ϕ

=

r r

Sia dunque l’equazione che descrive la forma della spira. ( ) ( ( )

) ( )

δ ϕ δ

= −

J r t I r r z φ

Con ragionamenti simili ai precedenti è facile verificare che per tale spira ˆ

,

e

ϕ

=

= + dV rdrd dz

r r r z z e

Osservando che, in coordinate cilindriche, ˆ ˆ

[ ] ( ( )

) ( )

1 ∫ δ ϕ δ

= + × − =

r z I r r z dV

m r z φ

ˆ ˆ

ˆ

V

2 π π

+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞

2 2

I I

( ( )

) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

δ ϕ δ ϕ δ δ ϕ

= − − − =

z r

r r r z drd dz r r R z z drd dz

2 ˆ

ˆ

2 2

− ∞ − ∞

0 0 0 0

π π

⎛ ⎞

+∞

2 2

I ( ( )

) ( )

1

∫ ∫ ∫

⎜ ⎟

δ ϕ ϕ ϕ

= − = =

z r r r drd I r dr z IA z

2 2

ˆ ˆ ˆ

⎜ ⎟ spira

2 2

⎝ ⎠

0 0 0

π

2 ( )

1 ∫ ϕ

r dr l’area della spira.

essendo, come è noto, 2

2 0

Esempio 1.2.6

Calcolare il momento di dipolo magnetico e il momento di dipolo elettrico di un guscio sferico di spessore trascurabile di

ω

raggio R, uniformemente carico, che ruota attorno ad un suo diametro con velocità angolare .

Soluzione

Si fissi un sistema di riferimento con asse z coincidente con l’asse di rotazione e origine coincidente con il centro del

guscio sferico.

Sia Q la carica totale presente sul guscio sferico.

Adottando coordinate sferiche, risulta allora Q

( ) ( )

ρ δ

= −

t r R

r , π

e R 2

4

Dunque si ha π π +∞

2

Q Q

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ρ δ θ ϕ δ θ θ ϕ

= = − = − =

t t dV r R dV r r R r drd d

p r r r r 2

ˆ

, , sin

π π

e R R

2 2

V V

4 4 0 0 0

π π π π

2 2

Q QR

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ

= =

R d d d d

r r

3 ˆ ˆ