Lezioni ed esercitazioni, Algebra 1

CREDITI

• 48 h Umberto Cerruti (lezioni)
• 24 h Daniela Romagnoli (esercitazioni) - mercoledì aula 4

+ tutore Angelo Rendino (con compiti)

x ∈ A

elemento

• {a, b, c} (un insieme) = I

I = { x | x gode della prop P }

tale che oppure :

Q = { |x| x è un quadrato di un numero intero

→ q = { x ∈ ⑨ | ∃ y ∈ ⑨ x = y² }

∀ x ∈ Q ∃ y ∈ ⑨ x = y²

FAMIGLIA DI INSIEMI

Ⅾ = { A_k }_{k ∈ J}

ESEMPIO

Ⅾ è una Famiglia di insiemi tali che definiti da un indice J

J = ⑝

⑝ = { x ∈ ⑨ : x ≥ 0 }

∀ k ∈ N A_k = { kx | x ∈ ⑨ }

Es k=2 A₂ = { 2x | x ∈ ⑨ } numeri pari

k=1 A₁ = ⑨

k=0 A₀ = { 0 }

ALGEBRA 1

• 48 h Umberto Cerruti (lezioni)
• 24 h Daniela Romagnoli (esercitazioni) - mercoledi aula 4
• tutore Angelo Rendina (con compiti)

NOTAZIONI INSIEMISTICHE

x ∈ A → appartiene

x ∈ A

• elemento

• { a, b, c } (un insieme) = I

I = { x | x gode della prop P }

tale che oppure :

Q = { x | x è un quadrato di un numero intero }→ q = { x ∈ ℤ | ∃ y ∈ ℤ x = y ² }

∀ x ∈ Q ∃ y ∈ ℤ x = y ²

quantificatori

FAMIGLIA DI INSIEMI

a = { A_k }_{k ∈ J}

ESEMPIO

a è una Famiglia di insiemi tali che definiti da un indice JJ = ℕℕ = { x ∈ ℤ : x ≥ 0 }

∀ k ∈ ℕ A_k = { kx | x ∈ ℤ }

Esk = 2 A₂ = { 2x | x ∈ ℤ } numeri pari,k = 1 A₁ = ℤ,k = 0 A₀ = { 0 }

A ⊆ B

∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B

A = B

A ⊆ B ⊆ A ∀ x ∈ A ⇔ x ∈ B

con C ∉ A = B e vice anche che A ⊂ B ∨ B ⊂ A

con C (inclusione propria)

A ⊂ B ∃ x ∈ B ∧ x ∉ A

(I) INSIEME DELLE PARTI = INSIEME POTENZA

(contiene tutti i sottoinsiemi di I)

tutti gli insiemi A tali che A è contenuto in I

{A | A ⊆ I}

non è mai vuoto perché contiene sempre

∀ I ∅ ⊆ I

(∅) = {∅}

Non (∅) = ∅

In unione dei numeri naturali compresi tra 1 ed n

I₁ = {1}

(I₁) = {∅, {1}} = I₁

∀ I_k ∈ (I_n) sempre!

ma ∅ e I_n in (I_n) sono detti BANALI o IMPROPRI

ESEMPIO

I₂ = {1, 2} P(I₂) = {∅, {1}, {2}, I₂}

I finito |I| = n ↔ che vuol dire che n ∈ Z e che dice di quanti elementi sono nell'insieme

ordine di I

I = {o₀, o₁, ..., o_n-1} A ⊂ I

A = {o₃, o₂}

Iⱼ = {o₀ = a, o₁ = b, o₂ = c}

|I| = n => |P(I)| = 2ⁿ

Insieme delle parti è molto maggiore dell'insieme di partenza e i sottoinsiemi corrispondono a 2ⁿ

I = {a, b, c} |I| = 3

• a
• b
• c
• 0
• 0
• 1
• 0
• 1
• 0
• 1
• 1
• 0
• 0
• 1
• 1
• 1
• 0
• 1
• 1 x 2⁰ = 1
• 1 x 2¹ = 2
• 1 x 2² = 4

2³ = 8

P(I) = 2³ = 8

P(I) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

B = {1, 2, 3} |B| = 2 => |B²| = 4

P(B) = {∅, {1}, {2, 3}} B² = 4

I = ∅ |∅| = 0 P(I) = {∅, {∅}}

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

kZ = {kZ, x ∈ Z}

Ex → h Z ∩ kZ = tZ

OPERAZIONI TRA INSIEMI

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

• proprietà associativa
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• proprietà commutativa
  • A ∩ B = B ∩ A
• proprietà distributiva
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

I_IA = {x | x ∈ I ∧ x ∉ A}

complemento

* I - ϕ = I

* I - (I - A) = A

Leggi di Morgan

I - (A ∩ B) = (I - A) ∪ (I - B)

I - (A ∪ B) = (I - A) ∩ (I - B)

Dimostrazione a esercizio

∂ ⊂ P(I)

in generale ∂ = {A_k}_{k ∈ J}

∪∂ = {x | ∃ i ∈ J x ∈ A_i}

∩∂ = {x | ∀ i ∈ J x ∈ A_i}

ESEMPIO

∂ = {k ≥ 2} = {A_k}_{k ∈ ℕ}

∪∂ = ℤ

∩∂ = ϕ

RICOPRIMENTO