Appunti ed esercizi svolti di Matematica di base, Matematica di base, Pietro Zecca

Appunti di Matematica per la Formazione di Base, Professore Pietro Zecca

Scienze della Formazione Primaria, I Anno

Il documento contiene:

• Spiegazioni
• 49 esercizi risolti come preparazione al compito

La matematica è un linguaggio logico formale.

1) Da un suo ottenete è una sua struttura axiom di assiomi.

2) Che noi vogliamo de isporre.

3) La questione, che bisogna è solo necessaria coppia (il modo in cui).

comunicare il risultato con quello il possibillando della test.

EX. 1

1. I fratelli sono più alti delle sorelle

a) Ogni sorella è più bassa di qualche fratello

• Il medio delle altezze dei fratelli è maggiore delle medie delle altezze delle sorelle

• 1) → 3)
• 3) → 1)
• 3) → 2)
• 3) ⇒ 4)
• 4) ⇒ 2)

EX. 2

Dato un quadrilatero Q determinare le implicazioni reciproche tra:

1. Q ha un angolo ottuso
2. Q ha tre angoli acuti
3. Q non ha angoli retti

• 1) ⇒ 2)

Come ragiono:

1. Ho assunto che l'affermazione Δ_n (la prima che faccio) sia vera
2. Ho mostrato la verità della seconda affermazione usando Δ(1)
3. Ho mostrato la verità di Δ(3) usando Δ(2)
4. A(n) n_nπ precedente
5. A(n) n_nπ successivo

Le verità devono seguire un filo conduttore. Se cade una verità ovvero cade anche la successiva. Questo ragionamento, in matematica, è detto ragionamento per induzione.

1. Per il triangolo l'affermazione (n-2)π è vera.
2. Sappiamo Δ_n (n-2)π A(n+1) π+(n-2)π = (n-1)π = [(n+1)-2]π

1. ^▭ conterraneo un trapezio rettangolo
2. 2) → 1)
3. 2) → 3)

EX. 3

Sia T un triangolo. Quali delle seguenti condizioni sono necessarie perché T sia isoscele?

1. che T sia equilatero condizione sufficiente
2. che T abbia 2 angoli uguali condizione necessaria e sufficiente
3. che T sia rettangolo né sufficiente, né necessaria
4. che T abbia 2 angoli di ampiezza maggiore di 60° condizione suff.
5. che esistano i lati del triangolo per i quali il quoziente della lunghezza è un numero intero condizione necessaria

EX. 6

Leggere le seguenti affermazioni:

1. Esiste un punto che non appartiene alla retta p, né alla retta q.
2. Per ogni valore reale x si ha f(x) ≥ 5.
3. Esiste una retta contenente tutte le rette p e q, ma non alte rette r.
4. Il quadrilatero q e il pentagono p hanno almeno 2 vertici in comune.
5. L'equazione f(x) ha esattamente 3 soluzioni.

P ⇒ Q si legge:

• P implica Q
• Se P allora Q
• P è (una condizione) sufficiente per Q
• Q è (una condizione) necessaria per P

P ⇒ Q è una proposizione

Se le tavole di verità di 2 proposizioni sono identiche, allora le proposizioni si dicono (logicamente equivalenti)

• Una tautologia è una proposizione sempre vera.

Il metodo di dimostrazione per assurdo

Il metodo di dimostrazione per assurdo afferma che:

• Una proposizione P è vera se da ¬P segue una contraddizione, ovvero ¬P è vera se si arriva sempre ad una contraddizione.
• Tale metodo trova il suo fondamento tecnico sull'equivalenza logica ¬(¬P) ≡ P.
• Uno delle varianti principali del metodo di dimostrazione per assurdo si basa sull'equivalenza logica fra le proposizioni:

(P ⇒ Q) ≡ (¬Q) ⇒ ¬P

Es.

Considerare le 2 affermazioni:

• P: x = √2 con intero x ⇒ x = √2; Q: x = 1 con intero x ⇒ x ≥ 9

Per dimostrare questa implicazione si può usare il metodo di dimostrazione per assurdo dimostrando che da ¬Q ⇒ ¬P segue una contraddizione:

• ¬Q: x = 1 con intero x ≥ 2
• ¬P: x = √2 è vero e x_i è vero se |x| ≤ 1, il che contraddice il fatto che x = 3.

Legge di De Morgan

(A ∨ B) eq. ¬A ∧ ¬B

¬(A ∧ B) eq. ¬A ∨ ¬B

1

• A B A ∧ B ¬(A ∧ B) V V V F V F F V F V F V F F F V
• ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B F F F F V V V F V V V V

2

• A B A ∨ B ¬(A ∨ B) V V V V F V F V V F F F
• ¬A ¬B ¬A ∧ ¬B F F F F V F V F F V V V

Γ(Δ ∧ ¬B) eq. ΓA ∧ ¬(Γ ∧ B) eq. ¬ΓA ∨ ¬(ΓB)

A B ¬A ¬A ∨ B

• V V F V V F F F F V V V F F V F

⇒B A ⇒ B

• V V V V F F F V V F F V

⇔

Si legge:

• A se e soltanto se B
• Condizione necessaria e sufficiente perché A allora B

(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

ax+b=c+d

+ ⇒ a:b:c:d = b:c

Nei numeri interi è ben definito la somma, la sottrazione e la moltiplicazione.

Quando ^II/_III si trasformano i fattori

(a,b) → (c,d)

a : b = c : d

a x b = c x d

I numeri razionali:

ℚ = {(a,b), b≠0}

(a,b) + (c,d) = (ad+bc, bd)

(a,b) x (c,d) = (ac, bd)

2 4 6 8 10 12 3 5 6 8 9 10

Se prendo i numeri pari e poi divido per 2: 1,2,3,4,5

Devo però nuovo i primi 5 numeri

f(X) ≠ f(X) LA FUNZIONE È INIETTIVA

f(B) capi l'insieme di funzioni e sottomultiplo

R = B

Iniettiva:

f : A → B

se x,y ∊ A x ≠ y ⇒ f(X) ≠ f(Y)

Sovrattiva ∀ z ∊ B

∃ x ∊ A: f(X) = y

Ad esempio, prendiamo la funzione

R x² né iniettiva, né suriettiva

R⁺ x : suriettiva

R^* x : ^* iniettiva, suriettiva

Quando parliamo di funzioni:

Sì

No

n (n+1)(n+2) è divisibile per 3

1) n=2 1⋅2⋅3=6

2) Suppongo che n(n+1)(n+2) sia divisibile per 3

E voglio provare che il prodotto successivo (n+1)(n+2)(n+3) è divisibile per 3

Ho (n+1)(n+2)(n+3)= (n+1)(n+2)+(n+2)

3⋅H + 3(n+1)(n+2)

f(2) 2ⁿ=4 VERO

f(1) 2¹ VERO

f(2) 4² VERO

f(3) 2³ FALSO

f(5) 2⁵ VERO

f(6) 2⁶ VERO

Per dimostrare che questo vero vale anche per gli ultimi messi faccio il fx per

caso di induzione

f(k) = 2ⁿ K-V=k

Supponendo che 2ⁿ=k

Resto la testo che fa sempre 2(n_o+1)2(n_o+1) =/

2⋅2^{n _h}≥ 2ⁿ

2^{n_o+k h}2+2+1 = DXU115677

2^k+hk+2^k+n≥ 2n+1

(k+2)≥ 2n+1

sciocca k=25 posso dire che 2n_o ≥3ine

k_n+1≤n+1

2^{r 2k}2≥ 2n_o+k1

k

M∃^dk 3+9+6

2:2 b=3

∃ bk a⁵ 2⋅2⋅3⋅5⋅8

5*9 o 3+s+2⋅3⋅9

N Dimostrato che queste proposizione non si commutativa

Comunicazione gratuita di qualunque 5 si ordinare dopo elemens:

* volte il sistema si commut.

Risunto *(a)* : b,c) ^cb, ^bc (a,b,c)

(xy*b) b*c e :c (b^c) ^b(c)+2*c