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Appunti di Matematica per la Formazione di Base, Professore Pietro Zecca
Scienze della Formazione Primaria, I Anno
Il documento contiene:
- Spiegazioni
- 49 esercizi risolti come preparazione al compito
La matematica è un linguaggio logico formale.
1) Da un suo ottenete è una sua struttura axiom di assiomi.
2) Che noi vogliamo de isporre.
3) La questione, che bisogna è solo necessaria coppia (il modo in cui).
comunicare il risultato con quello il possibillando della test.
EX. 1
- I fratelli sono più alti delle sorelle
a) Ogni sorella è più bassa di qualche fratello
- Il medio delle altezze dei fratelli è maggiore delle medie delle altezze delle sorelle
- 1) → 3)
- 3) → 1)
- 3) → 2)
- 3) ⇒ 4)
- 4) ⇒ 2)
EX. 2
Dato un quadrilatero Q determinare le implicazioni reciproche tra:
- Q ha un angolo ottuso
- Q ha tre angoli acuti
- Q non ha angoli retti
- 1) ⇒ 2)
Come ragiono:
- Ho assunto che l'affermazione Δn (la prima che faccio) sia vera
- Ho mostrato la verità della seconda affermazione usando Δ(1)
- Ho mostrato la verità di Δ(3) usando Δ(2)
- A(n) nnπ precedente
- A(n) nnπ successivo
Le verità devono seguire un filo conduttore. Se cade una verità ovvero cade anche la successiva. Questo ragionamento, in matematica, è detto ragionamento per induzione.
- Per il triangolo l'affermazione (n-2)π è vera.
- Sappiamo Δn (n-2)π A(n+1) π+(n-2)π = (n-1)π = [(n+1)-2]π
- ▭ conterraneo un trapezio rettangolo
- 2) → 1)
- 2) → 3)
EX. 3
Sia T un triangolo. Quali delle seguenti condizioni sono necessarie perché T sia isoscele?
- che T sia equilatero condizione sufficiente
- che T abbia 2 angoli uguali condizione necessaria e sufficiente
- che T sia rettangolo né sufficiente, né necessaria
- che T abbia 2 angoli di ampiezza maggiore di 60° condizione suff.
- che esistano i lati del triangolo per i quali il quoziente della lunghezza è un numero intero condizione necessaria
EX. 6
Leggere le seguenti affermazioni:
- Esiste un punto che non appartiene alla retta p, né alla retta q.
- Per ogni valore reale x si ha f(x) ≥ 5.
- Esiste una retta contenente tutte le rette p e q, ma non alte rette r.
- Il quadrilatero q e il pentagono p hanno almeno 2 vertici in comune.
- L'equazione f(x) ha esattamente 3 soluzioni.
P ⇒ Q si legge:
- P implica Q
- Se P allora Q
- P è (una condizione) sufficiente per Q
- Q è (una condizione) necessaria per P
P ⇒ Q è una proposizione
P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F VSe le tavole di verità di 2 proposizioni sono identiche, allora le proposizioni si dicono (logicamente equivalenti)
P Q (¬P) ∨ Q P Q P ⇒ Q V V V V V V V F F V F F F V V F V V F F V F F V- Una tautologia è una proposizione sempre vera.
Il metodo di dimostrazione per assurdo
Il metodo di dimostrazione per assurdo afferma che:
- Una proposizione P è vera se da ¬P segue una contraddizione, ovvero ¬P è vera se si arriva sempre ad una contraddizione.
- Tale metodo trova il suo fondamento tecnico sull'equivalenza logica ¬(¬P) ≡ P.
- Uno delle varianti principali del metodo di dimostrazione per assurdo si basa sull'equivalenza logica fra le proposizioni:
(P ⇒ Q) ≡ (¬Q) ⇒ ¬P
Es.
Considerare le 2 affermazioni:
- P: x = √2 con intero x ⇒ x = √2; Q: x = 1 con intero x ⇒ x ≥ 9
Per dimostrare questa implicazione si può usare il metodo di dimostrazione per assurdo dimostrando che da ¬Q ⇒ ¬P segue una contraddizione:
- ¬Q: x = 1 con intero x ≥ 2
- ¬P: x = √2 è vero e xi è vero se |x| ≤ 1, il che contraddice il fatto che x = 3.
Legge di De Morgan
(A ∨ B) eq. ¬A ∧ ¬B
¬(A ∧ B) eq. ¬A ∨ ¬B
1
- A B A ∧ B ¬(A ∧ B) V V V F V F F V F V F V F F F V
- ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B F F F F V V V F V V V V
2
- A B A ∨ B ¬(A ∨ B) V V V V F V F V V F F F
- ¬A ¬B ¬A ∧ ¬B F F F F V F V F F V V V
Γ(Δ ∧ ¬B) eq. ΓA ∧ ¬(Γ ∧ B) eq. ¬ΓA ∨ ¬(ΓB)
A B ¬A ¬A ∨ B
- V V F V V F F F F V V V F F V F
⇒B A ⇒ B
- V V V V F F F V V F F V
⇔
Si legge:
- A se e soltanto se B
- Condizione necessaria e sufficiente perché A allora B
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
ax+b=c+d
+ ⇒ a:b:c:d = b:c
Nei numeri interi è ben definito la somma, la sottrazione e la moltiplicazione.
Quando II/III si trasformano i fattori
(a,b) → (c,d)
a : b = c : d
a x b = c x d
I numeri razionali:
ℚ = {(a,b), b≠0}
(a,b) + (c,d) = (ad+bc, bd)
(a,b) x (c,d) = (ac, bd)
2 4 6 8 10 12 3 5 6 8 9 10
Se prendo i numeri pari e poi divido per 2: 1,2,3,4,5
Devo però nuovo i primi 5 numeri
f(X) ≠ f(X) LA FUNZIONE È INIETTIVA
f(B) capi l'insieme di funzioni e sottomultiplo
R = B
Iniettiva:
f : A → B
se x,y ∊ A x ≠ y ⇒ f(X) ≠ f(Y)
Sovrattiva ∀ z ∊ B
∃ x ∊ A: f(X) = y
Ad esempio, prendiamo la funzione
R x2 né iniettiva, né suriettiva
R+ x : suriettiva
R* x : * iniettiva, suriettiva
Quando parliamo di funzioni:
Sì
No
n (n+1)(n+2) è divisibile per 3
1) n=2 1⋅2⋅3=6
2) Suppongo che n(n+1)(n+2) sia divisibile per 3
E voglio provare che il prodotto successivo (n+1)(n+2)(n+3) è divisibile per 3
Ho (n+1)(n+2)(n+3)= (n+1)(n+2)+(n+2)
3⋅H + 3(n+1)(n+2)
f(2) 2n=4 VERO
f(1) 21 VERO
f(2) 42 VERO
f(3) 23 FALSO
f(5) 25 VERO
f(6) 26 VERO
Per dimostrare che questo vero vale anche per gli ultimi messi faccio il fx per
caso di induzione
f(k) = 2n K-V=k
Supponendo che 2n=k
Resto la testo che fa sempre 2(no+1)2(no+1) =/
2⋅2n h≥ 2n
2no+k h2+2+1 = DXU115677
2k+hk+2k+n≥ 2n+1
(k+2)≥ 2n+1
sciocca k=25 posso dire che 2no ≥3ine
kn+1≤n+1
2r 2k2≥ 2no+k1
k
M∃dk 3+9+6
2:2 b=3
∃ bk a5 2⋅2⋅3⋅5⋅8
5*9 o 3+s+2⋅3⋅9
N Dimostrato che queste proposizione non si commutativa
Comunicazione gratuita di qualunque 5 si ordinare dopo elemens:
* volte il sistema si commut.
Risunto *(a)* : b,c) cb, bc (a,b,c)
(xy*b) b*c e :c (bc) b(c)+2*c