Appunti di "Geometria Differenziale"

Geometria Differenziale Locale delle Curve

1) Equazioni parametriche di curve regolari.

Per dare la definizione di curve osserviamo i seguenti esempi: (i) una retta nel piano ² è una curva di ordine 1 e può rappresentare come grafico di un polinomio di 1° grado; (ii) una sorgente di 2° grado come immagini di un'applicazione f di [a, b] in una delle funzioni continue f : ¹ e il cui grafico corrisponde all'idea intuitiva di curve, (iii) una combinazione di curve di equazioni x = t, y = -5², pure non essendo era grafico; (iv) in curve lambda, quest'ultimo chiuso è il luogo di zeri di una funzione.

2) Una curva parametrizzata di classe C^k in ⁿ, con k ∈ N, n ≥ 2, è una funzione vetto di classe C^k, α,

q: I ⊆ R → ⁿ, α(t) = (x₁(t), ..., x_n(t))

L'immagine di α(I) è chiamato sostegno delle curve e la variabile t ∈ I paramento delle curva. Se I = [a, b] o (a, b) diciamo che la curva è chiusa, la curva si dice semplice x = α è iniettiva su R.

(b) ovvero che la curva è chiusa e la curva si dice semplice x = α è iniettiva su R. ∀ u ≤ t, e ≠ t

(c) Un omeomorfismo fra due spazi topologici X, Y, è una funzione continua f: X → Y che è anche biunivoca se la cui inversa f^-1: Y → X è continua. In altre parole, è una corrispondenza biunivoca X → Y c. un sottoinsieme A di X, Γporta secondo le topologie di X, e X di A Γporta secondo le topologie di Y.

f) Non tutte le curve parametrizzette formano un omeomorfismi tra l'intervallo di definizioni I p di I, sostegno α(T).

g) Una curva I : I→ ^{R n} rettificabile se esiste un settore superiore per l’immagine A della lunghezza delle diagonali inscritte nelle curve. Si definisce allora sup (Δ) = l(α), le lunghezze delle curve.

f) Se α x₁ è una curva parametrizzate di classe C^k allora α è rettificabile.

Poiché curve parametrizzate distinte come applicazioni possono descrivere le stomi di identici geometriche ma anche uno stom sostegno può essere percorso in modo geometría mente diversa, occorre introdurre una relazione di equivalenza sullo stom delle curve parametrize

(b) Un diffeomorfismo fra due insomni aperti e comuni U in Rⁿ = V in Rⁿ è una funzione f : U → V tale che f è invertibile e f^-1 c Le sue inverse α e α^-1 c la classe nac

h) Due curve parametrizzate α : I ⊆ R → ⁿ are equivalenti s. existe un diffeomorfismo f : J ⊆ R, e k : R → p. R è una riparuititazione di α e α x con il cambiamento di parametro, t → f^-1(t, u), ≠ 0

3) Una curava di classe C^k in ⁿ è una classe di equivalenza di curve parametrizzate di

classi di una ⁿ ogni elemento della classe di equivalenza è detta parametrizzazione delle curve

a) Due curve parametrizzate I:ⁿ, β:ⁿ sono equivalenti con la stessa orientazione

x esiste un cambio di parametro h:J→I con derivata sempre positiva, a.ti h(t)=u:

h(u)=x, y= J. Una curva orientata è una classe di equivalenze di curve parametri-

zati con la stessa orientazione.

Per definire il verso tangente alle curve, in s(t) si prende il limite per τ → ⁺0 del verso

secante la curva per i punti (1^h(τ+x),α(τ+x)) ottenendo

lim ^{α'(t)(t+τ)-α(t)} = α'(t)(t+s4)

b) Si definisce il (IV) di t vettore tangente alla curva (M)^ff(punti di ): ¹ x αξιο quindi

x σ ε l T , x D. per l'esrcche in α'(t)(x') si, parla di ret erangenti.

c) La lunghezza del vettore tangente dipende dalle parametrizzazioni scelte, ma la sua direzione no.

Infatti.

Siano: I:ⁿ, β:⁺ 1 c:ⁿ una parametrizazione equivalente γ. D. p = α ox point α'. perola (p'(t) = β'(t) o h(t))

(ld(d) b) ∫ (i^f)

Inoltre, la regolarità e le proprietà della curva, perde: p'(t) ≠ α'(t)査 ≠ 0.

d) S:I=ⁿ una curve di classe ⁿ, n dice che S:I → ¹ parametri οκ per x y^us fissate

se T: (l) nel hic:

S(t) = ∫ _[s(t)₀|t|]h'(s)ds = t... t di |

N[oc] e uil = τ.

classi ⁿ 1.

b) S. (_I P) un parametro arco per e direzione il lato: I(t)≠α(s).

Thm) Si: al L a una curves regolare unretate; esα ammetta in an agricole parameter,

dér parameterizzazione rispetto il parametro arco.

Im altre parole il teoremia afferma che, fissato tεα, x ^bε

6) L parametro arco, S:I→I(-Stageiotonea),

S(t)=|^tα'(t)|dt)|^xt0

dJ, ε:^eJ|0, t |

α:|0) 6 ≠t

( inizio altro

αt≠t

poi dt+| ∫

quindi erolule f

extas α̃

Q R

α(+([_I]dJ))

α':β operatori ε(s)

(z ε

J:^α+dμ. d α.

parverolo^IV

x

puc| α+ a t - 1

cdll.

fff α'(du)

S

[ 7 ] logic+ ^e5i+d|α(si)

hν (inside )=。

)^x ffet.

Q Bic f(me) |0ۍ = a forth 6 ₆: |

Thm α: J^xyX prides.

Q) t n^ffd ^{Dx 58}

implicita

8X

T di r d al la JQ11)

x et dew = Di

oltre terreni. P'f'² = U, y' = (m,n,0), il verso della base canonica E₁ = (1,0,0) in R³, il tangente alla curva

r(2) = (u,v), K una parametrica sur 2 = (K) e le curve r₁ (U,v) = (x(U,v), y1(u,v), z1(u,v)) S

(Uo,vo) = lo spazio della curva gamma, r₂ (u,v) = (x₂(u,v),y₂(u,v),z₂(u,v))) = C S che

tangente r₂(u,v) = (2,1)(1,0))(3,U)(0,1)), analogamente

er une matric di differenzia

d_1,2,3 =

• (x₂, Wit,V2r(x₄, w1,₂)
• (x₂, w(U,V))
• (x₂, r(1,2,3)(x(U,V))

le condizioni ii) equivalo a ricuadra chi uno su di misure ordin 1,

si divente da 0. Quiale condizioni generatrice Vinterno del piano tangenti in tutti i punti di >

ss) 1

poi volgono sulle condizioni ii, le omosemise di

poste per regole:

isi, III corollorio si affermo de friser P = r(v) eS, un interno V de P en R¹ t.c 5 futur continuo

solo amenti de punti du tipo r(x) con y ricrore o "C"

Ds) P R ^cusatori 2 affine che (x₁(x,y,V)₁0 Q⁴ E) altere la preordinate alla superficie rigore apprezzo

leo 5" sul piano x(u,v) una carta laude di

SC e in 3 U superficie regolare

P un punto di S v en V interno rispetto al P³ E una funzione

el culin ANIR e in (2) della V, scal indizione raro

sono lcabile di 5 =

||u -t til (pl)(x,u,v)(x) =(u,v,p)a f(L)(*)=pun i

P su identifit e prossione (2) i franc da lotere

ineveoutinami aux plls (a)

d atte bene, (1,5) positia

S e (x,y,f(x,y))="S" meietta de putoprese scaler

onnualto lac ei mettefe L vediamo Ci) =

(p(x,y)L episcopi y poidoni) i fili per poing-

ivnd X(esx Q

Y+)=y(x,y)

prendato U NNNO pendute

|

ti (ll 'o ="

Cons.

Nel caso di una curva α: (ε, ε) ∈ ℝ → ℝ^r, di α(0) = p, α differenziabile, si d una funzione differenziabile F: U ⊂ ℝ^r → ℝ^m, locale tra loro canonica di α(0) = p, per cui α'(0) ∈ T_pℝ → T_pℝ^r otteniamo con il teorema della funzione composta:

d₀(F ∘ α)(1) = d₀F (α'(0)) ≡ d_F (α'(0))

• dF ∘ α'(0) ≡ d_F (α'(0))

1. Consideriamo una superficie regolare S ⊆ ℝ ^r, si vuole definire il piano tangente in un suo pu, a p ∈ S come insieme dei vettori tangenti alle curve contenuti in S e passanti per p.
2. Se S una superficie regolare S ⊆ ℝ^r si definisce il piano tangente a S in p:

T_pS := {α'(0) ∈ T_pℝ : α: (ε, ε) ∈ ℝ → ℝ^r con α(0) = p ∧ α(t) ∈ S ∀t ∈ (ε, ε)}

3) Delle definizioni il piano tangente a S in p è dato come sottospazio vettoriale dello spazio tangente T_pℝ^r.

S ⊆ ℝ^r una superficie regolare, sia r: U ⊂ ℝ² → S una parametrizzazione locale di S, per T² = r(u, v), dove (u, v) ∈ U, allora:

T_pS = d_(u0,v0)(r)(T_(u0,v0)ℝ²)

Dim

1. T_pS ⊆ d_(u0,v0)(r) (T_(u0,v0)ℝ²)
2. ∀ x = d_(u0,v0)(r) (v), un qualche vettore v ∈ T_u0,v0ℝ² dove v = (3/2 ∂/∂u) v + (4/5 ∂/∂v) v
3. v = d_(u0,v0)(T) e T: (ε, ε) ∈ ℝ → ℝ curva definita
4. dT^(u₀,v₀)(0) e T_(u0,v0)ℝ² vettore Tàm
5. p = r(u₀,v₀)
6. [Tàm ⊆ T_u0v0ℝ²]
7. Chiunque letter ù, yanT_Tà ⊆ T₀S

Se v ∈ T_pS, ∃α: (ε, ε) ∈ ℝ → ℝ^r ; α(0) = p = r(u₀,v₀) ∈ S ∀ t ∈ (ε, ε), sia t = t'_u

Consider q: P'(0) ∈ T₀(0); se q ∈ d_(u0,v0)(r)

⇒ z = dT_P'(0)

dF^(r) = ∂ q(t) / ∂ u₀, ∂ q(u)/ ∂v