“O piccolo, chi era costui!”
pensò Don Abbondio
“O piccolo” (o) rappresenta una forma di resto qualitativa di un polinomio di taylor.
3 16
Non si tratta di un determinato valore (non è quantitativo), non è 4x 23x , ma
rappresenta qualcosa che tende a zero più velocemente del suo argomento: o(x) tende
o ( x )
a zero più velocemente di x, cioè:
lim 0
x
x 0
Detto questo partendo da un esempio ne spieghiamo il suo utilizzo.
2
x [tan( x )][sin( x )] 0
lim
2
x sin( x ) 0
x 0
Utilizzando i limiti notevoli non si ottiene nulla. Potremmo usare Hopital ma non ci
interessa ora e sarebbe più complicato e facile da sbagliare.
Utilizziamo Taylor: 3
x 3
tan( x ) x o ( x )
3
3
x 3
sin( x ) x o ( x )
6
Allora il limite diventa: 3 3
x x
2 3 3
x x o ( x ) x o ( x )
3 6
lim 2
x 0 3
x
2 3
x
x o ( x )
3
Sviluppando i prodotti:
4 4 6 3 3
x x x x x
2 2 3 3 3 3 3 3
x x xo ( x ) o ( x ) xo ( x ) o ( x ) o ( x ) o ( x )
6 3 18 3 6
lim 6 4 3
x x x
x 0 2 2 3 3 3 3
x
x x o ( x ) o ( x ) o ( x ) 2 xo ( x )
36 3 3
Ovviamente si può semplificare:
n m m n
x o ( x ) o ( x )
m m
n o ( x ) o ( x )
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