Analisi matematica - Complementi

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Aggiornato il 19/03/2026

di Daniele

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Appunti del corso di Analisi Matematica (Complementi) dell'Università Bicocca di Milano. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: equazioni differenziali, Teorema di Cauchy …

Esame Analisi matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2004-2005

79 pagine

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Analisi completamenti equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione y=ƒ(x) che è l'incognita, ed alcune sue derivate. Nel caso in cui vi sia una funzione y: I → R definita in un intervallo I di R si parla di equazione differenziale ordinaria (funzione di una sola variabile e derivate rispetto a quella variabile). Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente. Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione "u" derivabile per un certo numero di volte che soddisfi la relazione definita dall'equazione.

Casi analizzati:

Equazioni lineari del primo ordine
Equazioni a variabili separabili
Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti

Teorema di Cauchy - Definizione

La funzione y=φ(t) di classe C¹(I) (continua e derivabile nell'intervallo aperto I) è soluzione di: y' = f(t,y) se φ(t) = ƒ(t, φ) ∀ t ∈ I. Inoltre, se t₀ ∈ I e y(t₀) = y₀, si dice che y = φ(t) è soluzione del problema di Cauchy.

Un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione y(x) che è l'incognita, ed alcune sue derivate. Nel caso in cui vi sia una funzione definita in un intervallo I di R si nota di equazione differenziale ordinaria (funzione di una sola variabile e derivate rispetto a quella variabile). Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente. Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione y derivata per un certo numero di volte, che soddisfi la relazione definita dall'equazione.

Casi analizzati:

Equazioni lineari del primo ordine
Equazioni a variabili separabili
Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti

Teorema di Cauchy - Definizione

La funzione y=φ(t) di classe C¹(I) (continua e derivabile nell'intervallo aperto I) è soluzione di:

Problema di Cauchy:

y' = f(t,y) se φ(t) = t(t,ψ) ∀ t ∈ I
y(t₀) = y₀

Inoltre, se t₀ ∈ I e y(t₀) = y₀, si dice che y=φ(t) è soluzione del problema di Cauchy.

Teorema di esistenza ed unicità

Se Y'^=f(t,y) Y(t₀)=y₀= problema di Cauchy è derivabile rispetto ad y con continuità e se f è continua nelle due variabili t e y per t ∈ I e y ∈ R, allora se t₀ ∈ I il problema di Cauchy ha una unica soluzione locale. Cioè esiste una y: I(t₀) → R tale che y è soluzione del problema di Cauchy su I(t₀).

Teorema

Nel caso di equazioni lineari del primo ordine la soluzione locale è sempre globale. Y'^=f(x) con y=^{∫ f(x) dx + C} Y(t₀)=y₀ nella forma:

Y'+b(x)y=c(x).

Moltiplica tutto per h(x):

h(x)y'+h(x)b(x)y=h(x)c(x).

Determino h':

d h(x) = h(x) b(x) dx ⇒ ^{d h(x) / h(x)} = ∫ b(x) dx

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